Определение. Функция F(x) называется первообразной функциейфункции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F¢(x) = f(x).
Надо отметить, что число первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.
F1(x) = F2(x) + C.
Определение.Неопределенным интеграломфункции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением
F(x) + C.
Обозначение неопределённого интеграла -
. (6.1)
Здесь функция f(x) называется подынтегральной, f(x)dx –подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, - обозначение операции интегрирования(оператор интегрирования)
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства неопределённого интеграла
1.
2.
3.
4. где u, v, w – некоторые функции от х.
5.
Пример:
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций такая задача оказывается сложной, либо невозможной. В последнем случае имеется в виду, что первообразная функция не является элементарной. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций – рациональных, иррациональных, тригонометрических, показательных и др.
Таблица основных неопределённых интегралов
Из определения первообразной функции следует, что интегрирование есть операция, обратная дифференцированию. Поэтому проверка правильности выполнения интегрировании я нужно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию. Для удобства проведения интегрирования ниже приводится таблица основных неопределённых интегралов.
Таблица интегралов
Интеграл
Значение
Интеграл
Значение
-ln½cosx½+C
ex + C
ln½sinx½+ C
sinx + C
-cosx + C
tgx + C
-ctgx + C
ln
arcsin + C
Интегралы этой таблицы принято называть табличными.
Если операции дифференцирования не выводит нас из области элементарных функций, т.е. результат дифференцирования также является элементарной функцией. С операцией интегрирования дело обстоит иначе: интегралы от некоторых элементарных функций уже не являются элементарными функциями. Приведём примеры некоторых из них:
- интеграл Пуассона (интеграл ошибок) ;
- интегральный логарифм;
- интегральный синус.
Приведенные интегралы принято называть «неберущимися». Каждый из этих интегралов не является элементарной функцией, однако они имеют большое значение в прикладной математике.