Функция распределения Ферми- Дирака

Основы квантовой теории металлов.

В начале нашего века на основе экспериментальных исследований было установлено, что носителями тока в металлах являются электроны.

В 1900 г. Друде разработал классическую электронную теорию металлов, которая затем (в 1904 г.) была усовершенствована Лоренцем. Согласно этой теории электроны проводимости в металле можно рассматривать как электронный газ. При своем движении электроны проводимости сталкиваются с ионами кристаллической решетки. По этому средняя длина свободного пробега электронов должна быть ~ периоду кристаллической решетки металлов, т. е. ~ см.

На основе таких представлений удалось вывести закон Ома, закон Джоуля- Ленца и некоторые другие. Однако эта теория не смогла объяснить ряд явлений, наблюдающихся на опыте. Наиболее важными являются два.

1. Экспериментально установлено, что в довольно большом интервале температур удельное сопротивление металлов пропорционально Т.

~ Т

В классической теории Друде- Лоренца

n₀- число электронов проводимости в единицу времени

e- заряд электрона

m- масса электрона

- длина свободного пробега электрона

V - скорость теплового движения электронов

и не зависят от Т

Следовательно , что не соответствует эксперименту.

2. Еще большие затруднения возникли при подсчете теплоемкости металлов. Согласно классической теории, теплоемкость металлов должна складываться из теплоемкости ионной решетки и теплоемкости электронного газа.

С^теор = С_реш + С_эл .

В кристаллах атомы совершают колебательные движения. Число колебательных степеней свободы равно 3N-6 3N (при больших N) .

Энергия W_k=3NkT.

Для одного моля N=N_A

W_k= 3N_AkT=3RT

Теплоемкость C= .

Таким образом, теплоемкость решетки С_реш=3R.

Теплоемкость электронного газа

Следовательно C^теор=3R+ .

Но из опытов (закон Дюлонга и Пти ) известно, что молярная теплоемкость металлов как и для других твердых тел равна ~ 3R.

Отсюда следует, что электроны металла почти не вносят вклада в теплоемкость , т. е. энергия теплового движения электронов проводимости не изменяется при нагревании проводника. Объяснить этот вывод на основе классической электронной теории невозможно.

Все это привело к серьезному пересмотру основ классической электронной теории металлов и к созданию квантовой теории металлов.

В первоначальной квантовой теории металлов (теории свободных электронов), также как и в классической теории Друде-Лоренца, использовалось понятие об электронном газе. Считалось, что валентные электроны свободны и движутся внутри металла так, как будто положительные ионы решетки не создают никакого электрического поля.

Если принять, что вне металла потенциальная энергия электронов равна нулю, то внутри металла она равна – W_п.

Можно считать, что свободные электроны металла находятся внутри “потенциальной ямы ” (“потенциального ящика”)

с вертикальными стенками и глубиной W_п.

Плоское дно потенциального ящика свидетельствует о том, что никакого электрического поля внутри нет и весь его объем эквипотенциален (W_p = const, j = const, ). Движение электронов внутри ящика ограничено только тем, что они не могут выйти за его пределы, так как для этого они должны преодолеть потенциальный барьер высотой W_п.

Все это применимо и в классической теории металлов. Однако в квантовой теории для описания движения электронов в потенциальном ящике вместо классической статистики Максвелла – Больцмана была применена статистика Ферми – Дирака, учитывающая квантовые свойства электронов (Зоммерфельд, 1927).

Основные различия между классической и квантовой статистикой следующие:

1.Статистика Максвелла – Больцмана имеет дело с частицами, движение которых строго подчиняется законам классической механики. Состояние любой частицы однозначно определяется заданием ее координат x, y, z и составляющих импульса p_x, p_y, p_z. По классической теории координаты, импульсы и энергии частиц могут меняться непрерывно. Согласно квантовой теории электроны обладают волновыми свойствами, и их движение описывается волновым уравнением Шредингера. Решение этого уравнения показывает, что энергия и другие характеристики электрона в твердом теле становятся квантованными, то есть они могут принимать лишь строго определенные значения. Каждое такое значение соответствует определенному квантовому состоянию электрона в твердом теле.

2.В классической статистике Максвелла – Больцмана в состоянии с определенными значениями энергии W может находиться сколько угодно частиц (электронов).

В квантовой статистике Ферми – Дирака распределение электронов по энергиям подчиняется принципу Паули, согласно которому в твердом теле в каждом квантовом состоянии с энергией W может находиться не более двух электронов.

Итак, из квантовой статистики следует, что электроны в металле могут иметь только дискретные значения энергии.

Рассмотрим, как будут распределяться электроны по этим уровням при Т = 0° К. Очевидно, что все электроны стремятся занять наиболее низкие энергетические уровни как самые устойчивые. Согласно принципу Паули на каждом уровне могут быть не более двух электронов. Поэтому электроны попарно занимают дозволенные энергетические уровни, начиная от дна потенциальной ямы.

Рассмотрим единицу объема металла

n₀ – число валентных электронов в единице объема

- число занятых уровней.

По оси абсцисс – номер уровня N.

По оси ординат – число электронов n, находящихся на уровне. Т. о. на нижних уровнях вплоть до номера n₀/2 находятся по 2 электрона, т. е. эти уровни полностью заполнены, а вышележащие уровни – пустые.

Обозначим энергию, соответствующую самому верхнему полностью заполненному уровню, т. е. с номером n₀/2, через W_max. Тогда можно нарисовать аналогичный график в зависимости от энергии.

Этот график характеризует заселенность уровней энергии электронами. Аналогичный вид функции распределения,

соответствующий такому графику, был найден Ферми и имеет вид.

функция распределения Ферми – Дирака.

определяет вероятность заполнения электронами энергетического уровня с энергией W.

W_ф – параметр системы, называемый энергией Ферми (или уровнем Ферми).

Рассмотрим, что дает функция Ферми – Дирака при Т = 0° К.

W < W_ф , т. е. уровень полностью занят, на нем 2 электрона

Т = 0° К

W > W_ф , т. е. уровень пустой

Т. о. энергия Ферми W_ф это есть энергия самого верхне -

го заполненного уровня при Т = 0° К. При W = W_ф

функция распределения Ферми – Дирака при любой

температуре имеет значение равное ½. Следовательно

уровень Ферми совпадает с тем энергетическим уров -

нем, вероятность заполнения, которого равна ½ при любой температуре.

При Т > 0° К имеем

W = W_ф

W > W_ф

W > W_ф

Очевидно, что чем выше температура, тем энергетически выше переходной участок от до .

При рассмотрении полупроводников будет удобно дать еще одно определение энергии Ферми.

W¢ - энергия самого верхнего полностью заполненного уровня.

W¢¢ - энергия самого нижнего полностью заполненного уровня

.

Поиск по сайту: