навчальна – формувати знання студентівпро інтеграл та його застосування; познайомити із формулами та правилами інтегрування; познайомити із формулою Ньютона – Лейбніца;
виховна – виховувати дисциплінованість, наполегливість, любов до предмету.
Література:[1]Соколенко О.І. Вища математика
[2] Вища математика. Конспект лекцій. Частина І. Укладач Осафійчук М.М.
[3] Рудницький В.Б. Вища математика.
[4] Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу. 11 клас.
Означення. Функція F(x) називається первісною функції f(x) на проміжку (а; b), якщо у всіх точках цього проміжку F'(x)=f(x).
Сукупність усіх первісних F(x)+C для функції f(x) називається невизначеним інтегралом функції f(x) на цьому проміжку і позначається , де - підінтегральний вираз, - підінтегральна функція, х – змінна інтегрування.
Теорема. Усяка неперервна функція має первісну.
Властивості невизначеного інтеграла.
1°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, тобто
2°. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:
3°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла: .
4°. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох або кількох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:
Таблиця основних невизначених інтегралів
2.Методи інтегрування. Інтегрування деяких спеціальних класів функцій.
1. Метод безпосереднього інтегрування базується на основних властивостях невизначеного інтеграла, таблиці інтегралів, а також на рівності , де a і b – сталі.
2.Метод заміни змінної.Якщо для знаходження заданого інтегралу зробити заміну х = φ(t), тоді має рівність
3°. Метод інтегрування частинами.
Метод інтегрування частинами застосовується тоді, коли під знаком інтеграла є добуток функцій. Нехай функції и=и(х) і v=v(х) мають на деякому проміжку неперервні похідні.
Формула інтегрування частинами
При обранні и та v потрібно врахувати:
1. Якщо підінтегральну функцію записано у вигляді добутку багаточлена на lnх, аrcsinх, аrccosх, аrctgх, аrcctgх, то доцільно покласти за dv цей багаточлен.
2. Якщо підінтегральну функцію записано у вигляді добутку багаточлена на еkx, sinkx, соskx, де k - деяке число, то доцільно обирати за и багаточлен.
Інтегрування раціональних дробів
Раціональним дробом називається дріб виду , де Рп(х) і Qт(х) - багаточлени відповідно п-го і т-го степеня. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь чисельника менший за степінь знаменника, і неправильним, якщо степінь чисельника більше або дорівнює степеню знаменника.