Приклади розв’язування задач

Рис. 1.2

Приклад 1.1. Частинка , рухаючись зі швидкістю , вдаряється об масивну стінку , яка рухається в тому ж напрямку зі швидкістю (рис.1.2). Визначити швидкість частинки після удару, якщо відомо, що при ударі об стінку , коли вона нерухома, частинка відскакує, зберігаючи швидкість за модулем і змінюючи її напрям на протилежний.

Розв’язок. За умовою задачі вважається, що швидкості руху тіл і задані в деякій системі відліку, наприклад, пов’язаній із Землею. Але при цьому задано закон співудару частинки з нерухомою стінкою. Тому, для того, щоб розв’язати задачу, необхідно розглянути рух частинки в системі відліку, пов’язаною з стінкою . В цій системі відліку стінка буде нерухомою, а рух частинки – складним, що складається з двох: відносно Землі зі швидкістю і, як це випливає з співвідношення (1.17), разом з Землею відносно стінки з швидкістю . Тому у відповідності з формулою (1.18) швидкість частинки відносно стінки дорівнює

За умовою частинка відскочить від стінки з швидкістю

Повернемось тепер до системи відліку, пов’язаною із Землею, оскільки в цій системі потрібно знайти швидкість частинки після удару. Рух частинки після удару об стінку і в цьому випадку складається з двох: відносно стінки з швидкістю і разом з стінкою відносно Землі з швидкістю . Отже, шукана швидкість

Звідси видно, що напрям вектора залежить від співвідношення модулів векторів :

1) якщо , то напрям швидкості частинки після удару збережеться;

2) якщо , то зміниться на протилежний;

3) якщо вона зупиниться.

Рис. 1.3

Приклад 1.2. З двох пунктів і , відстань між якими , одночасно починають рухатись два кораблі з швидкостями і . Вектори швидкостей утворюють з відрізком однакові кути (рис.1.3). Вважаючи рух кораблів рівномірним і прямолінійним, визначити найменшу відстань між ними.

Розв’язок. Наведемо два способи розв’язку задачі, що відрізняються вибором системи відліку.

1. Нехай рух кораблів відбувається в тій системі відліку (пов’язаній із Землею), в якій задані їх швидкості. Спочатку відстань між кораблями буде зменшуватися, потім (якщо вони не зіткнуться) – збільшуватися. Щоб знайти найменшу відстань , застосуємо загальний метод дослідження функції на екстремум. Для цього розглянемо положення кораблів через деякий довільний проміжок часу після початку руху і знайдемо відстань між ними як функцію часу. З графіка випливає:

.

Позначивши , отримаємо:

, (1)

Щоб знайти мінімум функції , продиференціюємо її по часу і похідну прирівняємо до нуля:

.

Звідси час, що відповідає найменшій відстані , дорівнює:

Підставивши це значення часу в (1), отримаємо відповідь:

(2)

З формули (2) випливає:

1) якщо , то , тобто, рухаючись з однаковими швидкостями, кораблі зустрінуться в точці (рис.1.2);

2) якщо або (рухається тільки один корабель), то , тобто , коли корабель опиниться в точці .

Рис. 1.4

2. Скористаємося системою відліку, пов’язаною з одним з двох кораблів, наприклад з першим. В цій системі відліку перший корабель буде нерухомим, а рух другого корабля буде складним: з швидкістю відносно Землі і з швидкістю разом із Землею відносно першого корабля (рис.1.4). Швидкість результуючого руху виразиться вектором , причому

.

Мінімальною відстанню між кораблями буде довжина перпендикуляра , опущеного на напрямок вектора . Розрахунок, що ґрунтується на подібності прямокутних трикутників, призводить до відповіді:

.

Яка співпадає з відповіддю (2), оскільки в (3) .

Як бачимо, другий спосіб розв’язку, в якому система відліку прив’язується до одного з рухомих тіл, значно простіший за перший.

Приклад 1.3. Матеріальна точка рухається вздовж прямої так, що її прискорення лінійно зростає і за перші досягає значення . Визначити в кінці десятої секунди:

1) швидкість точки;

2) шлях, пройдений точкою.

Розв’язок. ; ,

,

,

,

.

Відповідь: 1) ; 2) .

Приклад 1.4. Велосипедист їхав з одного міста в друге. Половину шляху він проїхав зі швидкістю . Далі, половину часу він залишався їхати зі швидкістю , а потім до кінця шляху йшов пішки зі швидкістю . Визначте середню швидкість велосипедиста на всьому шляху.

Рис. 1.5

Розв’язок. В задачі одне тіло рухається рівномірно і прямолінійно. Уявивши весь процес руху, зробимо схематичний рисунок.

Складемо рівняння руху для кожної ділянки шляху:

; ;

і запишемо додаткові умови задачі:

Оскільки ,то . Врахуємо, що , тоді з умови або одержимо звідси . Підставимо одержанні значення у вираз для середньої швидкості:

Підставляючи числові значення, одержимо: .

Приклад 1.5. Від буксира, що рухається проти течії річки, відірвався човен. В момент, коли на буксирі помітили човен, він знаходився від нього на достатньо великій відстані . З буксира швидко спустили катер, який доплив до човна і повернувся з ним назад. Скільки часу зайняла поїздка катера і яку відстань він проплив в один і другий бік, якщо швидкості катера і буксира відносно води дорівнюють відповідно і ?

Розв’язок.В даній задачі систему відліку зручно пов’язати з буксиром, оскільки рухи всіх інших тіл розглядаються по відношенню до нього. В системі відліку пов’язаній з буксиром, сам буксир знаходиться в стані спокою, човен віддаляється від нього з швидкістю , катер віддаляється від буксира з швидкістю катер разом з човном наближається до буксира з швидкістю .

Нехай за час , за який катер дожене човен, буксир віддалився від човна на відстань , тоді рівнянням руху для катера і човна за цей час буде:

, (1)

і

, (2)

Якщо для повернення на буксир катер затратив час , то рівняння його руху матиме вигляд:

, (3)

Шуканий час руху катера рівний:

(4)

І за цей час катер пропливе відстань

(5)

Одержали п’ять рівнянь, що містять п’ять невідомих величин з яких необхідно визначити тривалість поїздки катера і пройдений ним шлях . Розв’язуючи сумісно рівняння 1 – 5 одержуємо:

;

Рис. 1.6

Приклад 1.6. Тіло кинуто вертикально вгору з початковою швидкістю . Коли воно досягло верхньої точки польоту, з того ж початкового пункту з тією ж початковою швидкістю кинули друге тіло. Визначити, на якій відстані від точки кидання зустрінуться тіла; опір повітря не враховувати.

Розв’язок.Виконуємо схематичний рисунок. Відмічаємо на ньому траєкторію руху першого і другого тіла, вісь вибираємо вертикально вгору. Вибравши початок відліку в точці , вказуємо початкову швидкість тіл , висоту , на якій відбулася зустріч ( координату ) і час і руху кожного тіла до моменту зустрічі.

Рівняння руху тіла, кинутого вертикально вгору, дозволяє знайти координату рухомого тіла для будь – якого моменту часу, незалежно від того, чи піднімається тіло вгору чи падає після підйому вниз, тому для першого тіла:

,

а для другого

За умовою задачі .

Третє рівняння складаємо, виходячи з умови, що друге тіло кинуте пізніше, ніж перше на час максимального підйому:

.

Розв’язуючи складену систему рівнянь відносно , одержимо:

; .

Приклад 1.7. Артилерійська гармата розташована на горі висотою . Снаряд вилітає з ствола з швидкістю ,напрямленою під кутом до горизонту. Нехтуючи опором повітря, визначити:

а) дальність польоту снаряду в горизонтальному напрямі;

б) швидкість снаряду в момент падіння;

в) кут падіння;

г) рівняння траєкторії;

д) початковий кут пострілу, при якому дальність польоту найбільша.

Рис. 1.7

Розв’язок.Виконуємо рисунок. Прямокутну систему координат вибираємо так, щоб її початок співпадав з точкою кидання, вісь напрямлена вздовж поверхні землі, а вісь – по нормалі до неї в бік початкового зміщення снаряда. Зображуємо траєкторію снаряду, його початкову швидкість , кут кидання , висоту , горизонтальне переміщення , швидкість в момент падіння (напрямлену по дотичній до траєкторії в точці падіння) і кут падіння (кутом падіння тіла називають кут між дотичною до траєкторії, проведеної в точку падіння, і нормаллю до поверхні Землі).

Для складання кінематичних рівнянь руху спроектуємо вектори швидкості , і вектор прискорення на осі координат і . Проекції цих векторів, як видно з рисунку, дорівнюють відповідно

; ; ; і .

а, б) Складаємо рівняння швидкості і руху снаряда в проекціях по осях. Оскільки проекція прискорення на горизонтальному вісь рівна нулю, то і в будь – який момент часу задовольняють рівнянням.

(1)

(2)

Для вертикальної осі маємо:

(3)

(4)

В момент часу , коли снаряд впаде на землю, його координати дорівнюють

; (5)

В останньому рівнянні взято зі знаком «мінус», оскільки за час руху снаряд зміститься відносно рівня відліку висоти в бік , протилежний напрямку, прийнятому за додатній.

Результуюча швидкість в момент падіння рівна:

(6)

В отриманій системі рівнянь п’ять невідомих, тому необхідно визначити і .

З рівнянь (4) і (5) знаходимо час польоту снаряду

Підставляючи вираз для в формули (2) і (3) з урахуванням (5), відповідно одержуємо:

(7)

(8)

Після цього з (6) з урахуванням (1) і (8)знаходимо:

(9)

З отриманих результатів можна зробити наступні висновки.

Якщо , тобто снаряди падають на рівні вильоту, то згідно з (7) дальність їх польоту рівна . Якщо при цьому кут кидання рівний ( ), то при заданій початковій швидкості дальність польоту найбільша:

Підставивши у (9) значення , одержимо, що швидкість снаряду в момент його підльоту до рівня, з якого відбувався постріл, дорівнює його початковій швидкості:

При відсутності опору повітря швидкість падіння тіл рівна за модулем їх початковій швидкості кидання незалежно від того, під яким кутом було кинуто тіло, основною умовою є те, що точки кидання і падіння повинні знаходитись на одному рівні. Враховуючи, що проекція швидкості на горизонтальну вісь з часом не змінюється, легко встановити, що в момент падіння швидкість утворює з горизонтом такий самий кут, як і в момент кидання.

в) Кут падіння можна знайти виходячи з того, що швидкість тіла в будь–який точці траєкторії напрямлена по дотичній. В точці падіння

звідки

г) Щоб знайти рівняння траєкторії снаряду, потрібно встановити зв'язок між його координатами і в довільний момент часу . Якщо в рівняннях (2) і (4) під і розуміти зміщення снаряду відносно осей (враховуючи, що ці рівняння справедливі для всього руху снаряду), а під - час, протягом якого снаряд з точки потрапив в дану точку траєкторії, то, виключаючи з рівнянь , знайдемо шукане рівняння. Знайдемо з рівняння (2) час і, підставивши його в рівняння (4), одержимо:

Це рівняння типу – воно являє собою рівняння параболи, що проходить через початок координат , і напрямленої вітками вниз. Таким чином, тіло, кинуте під кутом до горизонту, при відсутності опору повітря летить по параболі незалежно від кута кидання .

д) Розв’язуючи рівняння (2), (4), (5) відносно початкового кута кидання , одержимо:

(10)

Оскільки кут кидання не може бути уявним, то цей вираз має зміст тільки за умови, що

Тобто , звідки випливає, що максимальне переміщення снаряду в горизонтальному напрямі рівне

Підставляючи вираз для в формулу (10), одержимо для кута , при якому дальність польоту максимальна:

.

Приклад 1.8. Камінь кинуто на схилі гори під кутом до її поверхні (рис. )

а) Визначити дальність польоту каменя і його найбільшу висоту підйому над схилом, якщо початкова швидкість каменя рівна , кут нахилу гори до горизонту .

б) За яким законом змінюється з часом нормальна і тангенціальна складові повного прискорення каменя, а також радіус кривизни траєкторії? Опір повітря не враховувати:

Рис. 1.8

Розв’язок.а) Виберемо прямокутну систему координат з початком відліку в точці кидання каменя так, щоб вісь йшла вздовж поверхні землі, а - перпендикулярно до неї. Зобразимо на рисунку траєкторію руху каменя, його початкову швидкість і прискорення . Відмітимо також координати каменя в момент падіння: ; . Для складання кінематичних рівнянь руху каменя спроектуємо вектори і на осі координат і .

; ; ; .

Складаємо рівняння руху в проекціях на осі з врахуванням того, що за час всього руху переміщення каменя по нормалі до поверхні (по осі ) дорівнює нулю, а вздовж поверхні ( по осі ) - , тобто, при , ; .

;

З першого рівняння визначаємо час польоту каменя

Підставляючи цей вираз для в друге рівняння, знаходимо:

Якщо покласти що відповідає випадку, коли тіло кинуте під кутом до горизонтальної поверхні, то

Максимальну висоту підйому можна знайти із співвідношення

,

де ;

б) Тіло, кинуте під кутом до горизонту, під дією сили тяжіння летить із сталим прискоренням . Це прискорення в кожній точці траєкторії утворює з вектором швидкості деякий кут . Виберемо осі координат, як вказано на рис. Позначимо і знайдемо проекції і на осі координат.

; ; ;

Вектор повного прискорення – вектор спроектуємо на напрям дотичної до траєкторії руху тіла і нормаль в точці .

; . (1)

Для знаходження кута складено рівняння для проекцій швидкості на вибрані осі.

, (2)

. (3)

Причому

. (4)

З рівнянь (2) – (3) знаходимо:

,

і, згідно (1)

Радіус кривизни траєкторії в будь-якій траєкторії рівний

,

де , отже

Аналізуючи отримані вирази для , , ми бачимо, що в точці кидання при

; ; .

У верхній точці траекторії

; ; ;

В точці падіння, тобто при

,

,

.

Приклад 1.9.Через блок радіуса (рис. ) перекинута нитка, на кінцях якої знаходяться два вантажі, встановлені на одному рівні. Залишені самі на себе, вантажі починають рухатись рівноприскорено і через час відстань між ними становить . Визначте кут повороту блока, його кутову швидкість і повне прискорення точки в кінці інтервалу часу . Проковзуванням нитки по блоку знехтувати.

Розв’язок.Відмічаємо на рисунку зміщення вантажів за час і прийнявши за початок відліку точку , розставляємо вектори нормального , тангенціального і повного прискорення точки .

Оскільки за умовою задачі нитка по блоку не проковзує, то тангенціальне прискорення всіх точок, що лежать на ободі, за модулем дорівнює прискоренню вантажів: .

Рис. 1.9

Рух вантажів рівноприскорений і за час вони зміщуються один відносно одного на відстань . Рівняння руху для кожного вантажу має вигляд:

(1)

Оскільки прискорення у них однакове і кожен проходить відстань .

Записуємо кінематичне рівняння руху для блока, враховуючи, що він обертається рівноприскорено:

і (2)

Кутова швидкість і кутове прискорення блока пов’язані з нормальним і тангенціальним прискоренням точки формулами

і (3)

Повне прискорення точки рівне

Розв’язуючи рівняння відносно невідомих , і , одержимо

; ;

Приклад 1.10. Котушка з намотаною на неї ниткою лежить на горизонтальній поверхні стола (рис. ) і може котитися по ній без ковзання. З якою швидкістю буде переміщуватись вісь котушки, якщо кінець нитки тягнути в горизонтальному напрямі з швидкістю ? Радіус внутрішньої частини котушки , зовнішньої - . Якими будуть швидкість і прискорення точки ?

Розв’язок I

Кочення котушки по столу можна представити як результат накладання двох одночасних незалежних рухів: переносного поступального руху всіх точок котушки з однаковими швидкостями рівними за модулем швидкості осі котушки, і відносного – обертання навколо її осі з деякою кутовою швидкістю . Враховуючи це, абсолютну (результуючу) швидкість довільної точки котушки ( в тому числі точки ), віддаленої від її осі на відстань можна представити як векторну суму швидкостей цієї точки в переносному і відносному русі, тобто

Рис. 1.10

, (1)

де - лінійна швидкість точки, зумовлена відносним рухом по колу.

Кутова швидкість визначається з умови, що котушка котиться по поверхні столу без ковзання. Точка котушки в момент зіткнення з поверхнею столу не рухається відносно столу, її абсолютна швидкість . Для цієї точки і, отже , відносна швидкість руху, напрямлена вліво, рівна за модулем переносній швидкості, напрямленій вправо, тобто

,

звідки

В задачі задана абсолютна швидкість точки , ,що рівна за модулем швидкості кінця нитки, і потрібно знайти переносну швидкість (абсолютну швидкість осі котушки ) швидкість точки .

Згідно з виразами (1) і (2) з врахуванням напряму відносних швидкостей точок і і того, що і , одержимо для і відповідно:

;

звідки

і

Переносний рух всіх точок котушки є поступальним, тому для знаходження прискорення будь-якої точки котушки можна скористатись формулою , де - відносне прискорення, - переносне.

Оскільки переносний рух котушки рівномірний, то для всіх точок і їх повне прискорення рівне відносному прискоренню: . Відносне прискорення являє собою нормальне прискорення, викликане рівномірним обертанням котушки навколо осі, тому

Розв’язок II

Рух котушки по столу є плоскопаралельний рух твердого тіла без проковзування, оскільки швидкість точки в даний момент часу рівна нулю. Якщо прийняти вісь, що проходить через точку перпендикулярно до площини рисунка, за миттєву вісь обертання, то кочення котушки можна представити як неперервний ряд миттєвих поворотів навколо лінії опори з деякою кутовою швидкістю (рис б). Зв'язок між абсолютною швидкістю довільної точки котушки, віддаленої від миттєвої осі обертання на відстань і задається формулою

Враховуючи, що для , і і, що абсолютна швидкість точки дорівнює швидкості кінця нитки ( ), одержимо для цих точок

; ;

За умовою задачі нам відомі , і , тому в складених рівняннях невідомими є , і . Розв’язуючи систему відносно шуканих невідомих – швидкості переміщення осі котушки і абсолютної швидкості точки , одержимо:

:

Незважаючи на те, що ми знайшли швидкість точки , її прискорення неможна зразу визначити за формулою нормального прискорення, оскільки нам невідомий радіус кривизни траєкторії точки. Слід звернути увагу, що він рівний не , як це може здаватися, а , тому для знаходження слід чинити так, як це було зроблено у розв’язку I.

При відхиленні нитки від горизонтального положення вгору – збільшенні кута між ниткою і площиною столу – кутова швидкість обертання котушки навколо миттєвої осі буде зменшуватися (оскільки зменшується відстань при незмінній швидкості ). В тому випадку, коли нитка складе з горизонтом такий кут , при якому продовження нитки пройде через точку (радіус ), котушка буде обертатися на місці. При кутах котушка почне рухатися вліво.

Поиск по сайту: