Кутова швидкість та кутове прискорення

Найпростішим випадком криволінійного руху є рух матеріальної точки по колу радіусом R.

Нехай точка за деякий час Dt перемістилась по колу з позиції радіуса-вектора у пункті 1 на позицію у пункт 2. При цьому вона повернеться навколо осі обертання на кут Dj (див. рис. 1.6).

Рис. 1.6.

Вектором кутового переміщення називають вектор, який чисельно дорівнює куту повороту Dj, здійсненого за час Dt, і направлений по осі обертання так, що з його кінця напрямок руху точки по колу має бути проти годинникової стрілки.

, (1.20)

Вектор миттєвої кутової швидкості - це границя, до якої наближається середня кутова швидкість за умови, що t 0.

, (1.21)

А це означає що перша похідна за часом від вектора кутового переміщення дорівнює кутовій швидкості матеріальної точки.

Рис. 1.7.

Кутова швидкість відноситься до групи так званих псевдовекторів, бо вони прикладені не до матеріального тіла, а до умовної осі обертання. Псевдовектор має той же напрямок, що й вектор (див. рис. 1.6).

Знайдемо модуль лінійної швидкості точки, що обертається по колу, і встановимо зв’язок між кутовою і лінійною швидкістю:

, (1.22)

Якщо w = const, тоді обертання тіла буде рівномірним і його можна характеризувати періодом обертання T - часом, за який тіло робить один повний оберт, тобто повертається на кут 2p.

За час Dt = T тіло повернулося на кут Dj = 2p, тоді:

w = 2p / Т , (1.23)

Число повних обертів, що зробило тіло при рівномірному русі по колу за одиницю часу, називається частотою обертання n:

, (1.24)

Зміна вектора кутової швидкості з часом характеризується вектором кутового прискорення:

, (1.25)

Або з урахуванням формули (1.21) отримаємо:

Таким чином, вектор кутового прискорення дорівнює першій похідній від вектора кутової швидкості, або другій похідній від вектора кутового переміщення за часом.

Кутове прискорення є псевдовектором і має напрямок по осі обертання. При додатному прискоренні вектори кутової швидкості і кутового прискорення співпадають за напрямком, а при від’ємному прискоренні вони направлені в протилежні сторони (див. рис. 1.7).

Для нормального і тангенціального прискорень маємо:

, (1.27

, (1.28)

У випадку рівнозмінного руху матеріальної точки по колу (e = const) маємо:

w = w₀ ± et , (1.29)

, (1.30)

де w₀ - початкова кутова швидкість точки.

Одиниці виміру в системі СІ вище наведених параметрів такі: [j] = [рад.], [w] = [j / t] = [рад. c^-1], [e] = [w / t] = [рад. с^-2 ].

1.5. Контрольні завдання і запитання.

1. Дайте визначення миттєвої швидкості.

2. У чому полягає фізичний зміст нормального і тангенціального прискорень?

3. Дайте визначення миттєвого прискорення.

4. Що таке степінь вільності механічної системи?

5. Чому дорівнює кутова швидкість і кутове прискорення?

Поиск по сайту: