Доказать правило Крамера для системы 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными

Теорема правило Крамера:

Если определитель системы ≠0, то система определена формулами:

X₁= 1/ , Х₂= 2/ , Х₃= 3 /

Замечание : Правило Крамера справедливо для любой системы n линейных уравнений с n неизвестными.

Матричный метод решения системы линейных уравнений.

Теорема: Пусть матрица системы А квадратная (пусть m=n) и невырожденная (|A| не равен 0) тогда система АХ=В совместна имеет единственное решение которое можно найти по формуле

Х=А в степени -1 * В

Док-во: |A| не равно 0, то существует А в степени -1

АХ=В, А в степени -1* Ах=А в степени -1 * В. Х= А в степени -1*В.

Метод Гаусса. Выбор базисных и свободных переменных. Общее и частное решение.

С помощью элементарных преобразований строк и столбцов приведем расширенную матрицу (А/В) к матрице (А1/В1) трапецевидной формы.

При этом система уравнений соответствующая матрице (Аr/Вr) отличается от исходной, то будет эквивалентной. Столбцы переставлять можно, но надо при этом записывать какой неизвестной соответствует столбец. Столбец свободных членов не переставляют. Нулевые строки можно не писать.

Неизвестные соответствующие первым r столбца, называем базисными, а остальные свободными.

Свободными неизвестными могут принимать любые значения.

Значения базисных неизвестных определяются единственным образом через значения свободных.

Формулы, выражающие базисные неизвестные через свободные есть общее решение системы уравнения.

Частное решение системы - решение системы которое получается из общего подстановкой вместо свободных неизвестных некоторых числовых значений.

Однородные системы линейных уравнений. Признаки существования ненулевого решения.

Система называется однородной если все ее свободные члены = 0.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое решение х₁=х₂=…х_n=0.

1. Если r(A)=n, то однородная система имеет единственное решение, нулевое.

2. Если r(A)<n, то однородная система имеет бесконечно множество решений.

Векторная алгебра.

1.Понятие вектора, его длины, орта, равных векторов, коллинеарных и компланарных векторов.

Опр: Величины вполне только одним числом называются скалярными величинами или скалярами. Опр: Величины для определения которых кроме числа требуют задать еще и направление называются векторными.

Опр: Вектором называется направленный отрезок.

Опр: Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Опр: Векторы называются компланарными если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Опр: Длинной или модулем вектора называется длинна направленного отрезка изображающего вектора. Вектор имеющий длину 0 называется нулевым вектором. Вектор имеющий длину 1 называется единичным вектором или ортой.

Опр: Два вектора называются равными если:1)они имеют одинаковую длинну 2)коллинеарны 3)одинаково направлены

Поиск по сайту: