В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ

УДК 531/534(075.80)

ББК 22.2+22.36

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

В ФИЗИЧЕСКОМ ПРАКТИКУМЕ

Физика – наука экспериментальная. Это означает, что физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Цель физического практикума – ознакомление студентов с основными физическими явлениями, методами их экспериментального исследования, приобретение практических навыков проведения измерений с помощью физических приборов.

Все измерения можно разделить на два вида: прямые и косвенные. При прямых измерениях значение искомой величины непосредственно регистрируется по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время часами и т.д. Если физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а выражается посредством формулы через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными.

Любые измерения не дают абсолютно точного значения величины. Каждое измерение содержит некоторую погрешность (ошибку). Ошибкой называют разность между измеренным и истинным значением. Ошибки принято делить на систематические и случайные.

Систематической называют ошибку, которая остается постоянной на протяжении всей серии измерений. Такие погрешности обусловлены несовершенством измерительного инструмента (например, смещением нуля прибора) или метода измерений и могут быть, в принципе, исключены из конечного результата введением соответствующих поправок. К систематическим ошибкам относят также погрешности измерительных приборов. Точность любого прибора ограничена и характеризуется его классом, который, как правило, указывается на измерительной шкале.

Случайной называется ошибка, которая изменяется от опыта к опыту и может быть как положительной, так и отрицательной. Случайные ошибки обусловлены причинами, зависящими как от измерительного устройства, (трение, зазоры, и т.п.), так и от внешних условий (вибрации, колебания напряжения в сети и т.п.).

Случайные ошибки нельзя исключить совершенно, но их влияние на результат можно уменьшить многократными измерениями.

ПОГРЕШНОСТИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Среднее значение и средняя абсолютная ошибка. Предположим, что мы проводим серию измерений величины Х. Из-за наличия случайных ошибок, получим n различных значений: Х₁, Х₂, Х₃ … Х_n. Результатом измерений принято считать среднее значение

Разность между средним значением и результатом i-го измерения назовем абсолютной ошибкой этого измерения:

Мерой ошибки среднего значения принято считать среднее значение абсолютной ошибки отдельного измерения

. (1)

Величина называется средней арифметической (или средней абсолютной) ошибкой.

Результат измерений следует представлять в виде

Характеристикой точности измерений служит относительная ошибка e, которую принято выражать в процентах:

. (2)

Средняя квадратическая ошибка. Если необходимо оценить надежность полученных результатов, как правило вычисляют среднюю квадратическую ошибку (стандартное отклонение):

.

Величина s характеризует отклонение единичного измерения от истинного значения.

Если в результате n измерений по формуле (2) вычислено среднее значение , то это значение будет меньше отличаться от истинного, чем каждое отдельное измерение.

Средняя квадратическая ошибка среднего значения

, (3)

где s – среднеквадратическая ошибка каждого отдельного измерения; n – число измерений.

Из формулы (3) видно, что, увеличивая число измерений n, можно уменьшить случайную ошибку .

Результаты измерений принято представлять в виде

.

Подобная запись результата обозначает, что истинная величина Х с вероятностью 68 % отличается от не более, чем на .

В противоположность этому средняя арифметическая ошибка, вычисленная по формуле (1), не позволяет судить о надежности результата. Некоторое представление о точности измерений в этом случае дает относительная ошибка.

Целесообразность выбора метода оценки надежности результата при выполнении студентом лабораторной работы обсуждается с преподавателем.

Обычно, если число измерений не превышает трех-пяти, вычисляют среднюю абсолютную ошибку, если число измерений десять и более, то следует определять среднюю квадратическую ошибку.

Учет систематических ошибок. Максимальное значение систематической ошибки обычно указывается на приборе. При измерении обычной металлической линейкой систематическая ошибка составляет не менее 0,5 мм; штангенциркулем 0,1-0,05 мм; микрометром 0,01 мм. Часто в качестве систематической ошибки берется половина цены деления прибора.

На шкалах электроизмерительных приборов указывается класс точности K, по которому можно вычислить систематическую ошибку прибора:

где Х_пр – предельное значение измеряемой величины по шкале прибора. Например, амперметр класса 0,5 со шкалой I_пр = 5 А измеряет ток I с ошибкой

Среднее значение полной погрешности измеряемой величины складывается из случайной и систематической погрешностей:

.

Ответ с учетом систематических и случайных ошибок записывается в виде

.

ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В физических экспериментах чаще всего искомая величина непосредственно измерена быть не может, а является функцией других непосредственно измеряемых величин. Например, чтобы определить объем цилиндра, надо измерить его диаметр D и высоту h, а затем вычислить объем по формуле

.

Величины D и h измеряются с некоторой ошибкой. Следовательно, вычисленная величина V также содержит ошибку. Погрешность вычисленной величины выражается через погрешности измеренных величин.

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) или среднюю квадратичес­кую ошибку. Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть искомая величина j является функцией нескольких переменных j(Х, Y, Z). Путем прямых измерений мы можем найти , а также оценить их средние абсолютные ошибки или средние квадратические ошибки . Тогда средняя арифметическая погрешность

где – частные производные функции j по Х, Y, Z,вычисляемые для средних значений .

Средняя квадратическая погрешность

.

Для примера выведем формулы погрешности для вычисления объема цилиндра. Средняя арифметическая погрешность величины объема

,

где DD и Dh – ошибки измерений диаметра и высоты цилиндра.

Средняя квадратическая погрешность величины объема

,

где s_D и s_h – ошибки измерений диаметра и высоты цилиндра.

Если формула погрешности представляет собой выражение, удобное для логарифмирования (произведение, дробь, степень), то вначале целесообразно вычислить относительную погрешность. Например, чтобы рассчитать среднюю арифметическую погрешность физической величины надо проделать следующие действия:

1) прологарифмировать выражение;

2) продифференцировать его;

3) объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки;

4) взять выражение перед разными дифференциалами по модулю;

5) заменить знаки дифференциалов d на знаки абсолютной погрешности D. В итоге получится формула для относительной погрешности

e = Dj/j;

6) вычислить абсолютную погрешность Dj = je.

Проиллюстрируем последовательность действий на примере выражения для объема цилиндра:

;

;

;

.

Аналогично можно рассчитать относительную среднюю квадратическую погрешность:

.

Правила представления результатов измерения

1. Результаты измерений и вычислений фиксируются в форме предлагаемых таблиц. Единица величины указывается рядом с символом величины в головке таблицы. Например, d мкм.

2. Погрешность округляется до одной значащей цифры. Например, правильно Dj = 0,04, неправильно Dj = 0,0382.

3. Последняя значащая цифра результата должна иметь тот же порядок величины, что и погрешность: правильно j = 9,83 ± 0,03, неправильно j = 9,826 ± 0,03;

4. Если результат имеет очень большую или очень малую величину, необходимо использовать нормализованную форму записи числа: х = a[10ⁿ], где а = 1¸9. Правильно j = (5,27 ± 0,03)×10^-5, неправильно j = 0,0000527 ± 0,0000003, j = 5,27×10^-5 ± 0,0000003, j = 0,0000527 ± 3×10^-7, j = (527 ± 3)×10^-7, j = (0,527 ± 0,003) ×10^-4.

5. Если результат имеет размерность, ее необходимо указывать: правильно g = (9,82 ± 0,02) м/c², неправильно g = (9,82 ± 0,02).

Правила построения графиков

1. Графики строятся с помощью компьютерных программ или на миллиметровой бумаге.

2. Прежде чем строить график, необходимо:

· определить, какая переменная величина является аргументом, а какая функцией (значения аргумента откладываются по оси абсцисс, значения функции – по оси ординат);

· определить пределы изменения аргумента и функции по экспериментальным данным;

· указать физические величины, откладываемые на координатных осях, и обозначить единицы величин;

3. Нанести на график экспериментальные точки, обозначив их каким-нибудь значком (крестиком, кружочком, жирной точкой).

4. Провести через экспериментальные точки плавную кривую (прямую) так, чтобы эти точки приблизительно в равном количестве располагались по обе стороны от кривой (прямой). На компьютере в программе EXEL для этого используется режим линии тренда и избранный закон аппроксимации данных.

Работа 1. Оценка точности прямых

и косвенных измерений

Цель работы – провести прямые и косвенные измерения физических величин. Выполнить оценку точности измерений.

Общие сведения

Сопротивление однородного цилиндрического проводника

,

где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; r – удельное сопротивление. В системе СИ r выражается в ом-метрах (Ом×м).

Удельное сопротивление

Площадь поперечного сечения S рассчитывается по измеренному значению диаметра проводника d: Сопротивление R вычисляется по измеренным значениям напряжения U и тока I согласно закону Ома для участка цепи

(1)

Таким образом, удельное сопротивление

(2)

Каждую из физических величин (l, d, U, I) можно измерить непосредственно соответствующими приборами с определенной точностью (прямые измерения). Величина удельного сопротивления r вычисляется по формуле (косвенные измерения).

В общем случае результат измерения величины х представляют в виде

где погрешность или ошибка измерения; – среднее значение величины.

Для однократных измерений за величину ошибки принимается систематическая погрешность, которую вносит сам прибор, а средним считается измеренное значение физической величины.

Измерения длины l проволоки проводится однократно линейкой. Погрешность измерения линейкой определяется как половина цены наименьшего деления.

Значения тока I и напряжения U измеряют однократно с помощью электромагнитных приборов (амперметра и вольтметра). Погрешность DI и DU этих измерений определяется по классу точности, который указан на шкале приборов: , где K – класс точности приборов; I_пр и U_пр – наибольшие значения силы тока и напряжения, которые могут быть измерены по шкале прибора.

Диаметр проволоки измеряется многократно штангенциркулем и микрометром. Проведя n измерений, получим серию результатов: . Как величина случайная диаметр варьирует около некоторого среднего значения, которое определяется как среднее арифметическое:

.

Средняя абсолютная ошибка

. (3)

Средняя квадратическая ошибка

(4)

Если ошибка меньше точности используемого прибора, то за величину ошибки следует принять последнюю.

Сопротивление R и удельное сопротивление r определяются косвенно, т.е. вычисляются по формулам (1) и (2). Погрешности в определении этих величин выражаются через погрешности измеренных величин и вычисляются по следующим формулам:

· средняя абсолютная погрешность измерения сопротивления

; (5)

· средняя квадратическая погрешность измерения сопротивления

; (6)

· средняя абсолютная погрешность измерения удельного сопротивления

; (7)

· средняя квадратическая погрешность измерения удельного сопротивления

. (8)

Порядок выполнения работы

Для определения удельного сопротивления отрезка проволоки используется простейшая электрическая цепь, которая состоит из источника тока e, амперметра A, вольтметра V и исследуемого проводника АВ (см. рисунок).

Порядок измерений следующий:

1) измерить штангенциркулем диаметр проволоки d в десяти точках проводника и определить погрешность d фиксируя результаты измерений и расчетов в табл.1;

2) повторить измерения d с помощью микрометра;

3) включить установку, нажав кнопку «СЕТЬ»; включить нужную электрическую схему по указанию преподавателя;

4) установить начальное значение тока по указанию преподавателя, выполнить измерения тока I и напряжения U для десяти значений длины l (измерения проводить в точках проводника от 0,1l₀ до l₀), записывая результаты в табл.2;

5) определить погрешность электрических приборов ΔI и ΔU по классу точности и занести в табл.2.

Таблица 1

Поиск по сайту: