Схема вычисления производной

Производная

Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X. Возьмем точку . Дадим значению x приращение , тогда функция получит приращение .

Определение. Производной функции y = f (x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.

Если функция в точке x имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y = f (x) в точке , то есть .

Тогда уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке имеет вид

.

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент :

.

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .

Зависимость между непрерывностью и
дифференцируемостью функции

Теорема. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Обратная теорема неверна, то есть если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

Примером может служить функция y = |x|, непрерывная в точке x = 0, но имеющая в ней «излом». Производная этой функции в точке x = 0 не существует, так как :

Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но недостаточное условие дифференцируемости функции.

Схема вычисления производной

Производная функции может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу x приращение и найдем наращенное значение функции .

2. Находим приращение функции .

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при , то есть (если этот предел существует).

Пример 1. Найти производную функции .

Решение:

1. Дадим аргументу x приращение и найдем наращенное значение функции .

2. Находим приращение функции:

.

3. Составляем отношение .

4. Находим предел

Ответ: .

Правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю: .

2. Производная аргумента равна единице: .

3. Производная суммы равна сумме производных этих функций

.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна:

.

5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

, где .

6. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

, где .

7. Производная сложной функции равна

.

Производные основных элементарных функций:

1. , где ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. при ;

7. ;

8. ;

9. , ;

10. ;

11. ;

12. ;

Пример 2. Вычислить , если .

Решение: Находим производную суммы .

Пример 3. Вычислить , если .

Решение: Находим производную произведения .

Пример 4. Вычислить , если .

Решение: Находим производную частного .

Пример 5. Вычислить , если .

Решение: Находим производную сложной функции .

Поиск по сайту: