Теорема 7.7. Для любой квадратичной формы на действительном евклидовом пространстве в этом пространстве существует ортонормированный базис, в котором рассматриваемая квадратичная форма имеет канонический вид.
► Пусть на евклидовом пространстве задана квадратичная форма k. Выберем в какой-либо ортонормированный базис
, (7.7)
и пусть А – матрица квадратичной формы k в этом базисе. Тогда А – симметричная, а значит, существует такая ортогональная матрица Т, что матрица – диагональная. Так как матрица Т ортогональная, то по теореме 7.1 в существует ортонормированный базис
(7.8)
такой, что Т – матрица перехода от (7.7) к (7.8). Если Ã – матрица квадратичной формы k в базисе (7.8), то = = = = А'. Матрица А' – диагональная и поэтому в базисе (7.8) квадратичная форма k имеет канонический вид.◄
Замечание. Диагональными элементами матрицы А' являются собственные значения матрицы А.
Определение. Линейное невырожденное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональна.
Теорема 7.8. Любую действительную квадратичную форму можно привести к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования переменных (иная формулировка теоремы 7.7).
Следствия. 1. Для того чтобы действительная квадратичная форма была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения ее матрицы были положительными.
2.Для любой поверхности второго порядка в трехмерном пространстве существует ортонормированная система координат, в которой эта поверхность задается каноническим уравнением.
Для любой кривой второго порядка на плоскости существует ортонормированная система координат, в которой эта кривая задается каноническим уравнением.
Пример. Определить вид кривой второго порядка, приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту кривую, если исходное уравнение кривой имеет вид
.
▼1. Приводим к каноническому виду квадратичную часть уравнения (т. е. квадратичную форму) с помощью ортогонального преобразования переменных. Для этого записываем матрицу этой квадратичной формы и находим ее собственные значения:
, , .
Для нахождения первого собственного вектора решаем систему линейных уравнений с матрицей при : , . Чтобы найти второй собственный вектор нет необходимости решать вторую систему. Достаточно вспомнить, что он ортогонален вектору в силу симметричности матрицы А и что его координаты можно получить, как и в аналитической геометрии, переставив местами координаты вектора и в одной из них поменяв знак. Итак, . Чтобы получить ортонормированный базис, векторы и нормируем, т.е. делим каждый на его длину: , . Канонический вид квадратичной формы выглядит так: . Матрица перехода (она же матрица линейного невырожденного преобразования переменных) имеет вид
.
2. По матрице T записываем линейное невырожденное преобразование переменных:
(7.9)
Подставляем выражение переменных по формулам (7.9) в исходное уравнение. При этом квадратичная часть переходит в известный нам канонический вид, свободный член не меняется, а чтобы узнать, как изменится линейная часть, следует непосредственно подставить формулы (7.9) в уравнение, раскрыть скобки и привести подобные.
Замечание. На самом деле коэффициенты линейной части есть линейные комбинации координат векторов и с теми же коэффициентами, что и в исходном уравнении. Например, коэффициент при вычисляется так: , а при – так: .
Таким образом, после преобразования (7.9) приходим к уравнению
,
которое равносильно следующему:
.
3. Преобразуем это уравнение:
и применим к нему преобразование параллельного переноса:
После этого уравнение кривой принимает вид
,
откуда видно, что исследуемая кривая – парабола.
4. Приступаем к рисованию. На одном рисунке изображаем и старую систему координат, и новую. При преобразовании параллельного переноса начало координат переходит в точку , в которой . Значит, . Можно узнать координаты точки и в исходной системе координат. Для этого значения и подставим в формулы (7.9): . Итак, . Направление новых осей удобнее определять не по векторам и , а по векторам и , так как они имеют целочисленные координаты (рис. 7.1).
Как видите, приведение к каноническому виду даже кривой второго порядка – занятие достаточно трудоемкое. Попробуем его упростить хотя бы в некоторых случаях.
Лемма 7.2. Для того чтобы начало координат было центром симметрии кривой второго порядка, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при первых степенях переменных в ее уравнении равнялись нулю.
►Обозначим рассматриваемую кривую второго порядка. Пусть ее уравнение имеет вид:
. (7.10)
Необходимость.
{О – центр симметрии кривой Ф}
. (7.11)
Рассмотрим два случая.
а) Кривая Ф не является сдвоенной прямой. Тогда на ней можно выбрать две точки и , не лежащие с началом координат на одной прямой. Из (7.11) получаем
(7.12)
причем . Поэтому система (7.12) имеет единственное решение .
б) Ф – сдвоенная прямая . Очевидно, утверждение истинно.
Достаточность очевидна, так как уравнение кривой Ф имеет вид
.◄
Обозначим левую часть уравнения (7.10). Тогда
(7.13)
Теорема 7.9. Для того чтобы точка была центром симметрии кривой второго порядка , необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли системе линейных уравнений
(7.14)
►Пусть – центр симметрии кривой Ф с уравнением (7.10). Применим преобразование параллельного переноса , которое помещает начало координат в точку . При этом преобразовании уравнение (7.10) изменится так:
Последнее уравнение равносильно следующему:
. (7.15)
Если обозначить
, , (7.16)
, (7.17)
то (7.15) запишется в виде
.
Сравнивая (7.13) и (7.16), (7.10) и (7.17), замечаем, что
, .
Завершает доказательство цепочка рассуждений:
{ – центр симметрии Ф} { – центр симметрии Ф}
{ } { }.◄
Вывод. Если с помощью параллельного переноса поместить начало координат в центр симметрии кривой второго порядка, то при этом: квадратичная часть ее уравнения не изменится; слагаемые первой степени пропадут; свободный член нового уравнения можно найти по формуле .
Точно так же доказываются аналогичные утверждения и для поверхностей второго порядка.
Пример.Определить видповерхности второго порядка
,
приведя ее уравнение к каноническому виду, и нарисовать эту поверхность.
▼1. Проверяем существование центра симметрии. Для этого вычисляем частные производные и составляем систему вида (7.14):
Решая эту систему, находим . С помощью параллельного переноса помещаем начало координат в центр поверхности . При этом квадратичная часть уравнения не изменится, слагаемые первой степени пропадут, свободный член .
2. Приводим к каноническому виду квадратичную часть.
; ,
; .
Рис.7.2
Записываем каноническое уравнение поверхности:
или
и видим, что это однополостный гиперболоид.
Находим базис, состоящий из собственных векторов, используя алгебраические дополнения:
; ; .
Заметим, что нормировать базисные векторы нет необходимости. Нормированные векторы были бы нам нужны для записи ортогонального преобразования переменных, приводящего квадратичную часть к каноническому виду. Но в данном примере это преобразование не используется. Остается поверхность нарисовать (рис. 7.2). ▲
Изометрии
Определение.Линейный оператор f евклидова пространства Е в себя называется изометрией, если он сохраняет скалярное произведение, т. е. если
(7.18)
Изометрии в комплексном евклидовом пространстве называются унитарными операторами, а в действительном – ортогональными.
Теорема 7.10. Если l – собственное значение изометрии, то |l|=1.
►Пусть – собственный вектор изометрии , l – его собственное значение. Положим . Тогда: (7.18) .◄
Замечание. Собственные значения ортогонального оператора равны 1 или –1. Ортогональный оператор в пространстве четной размерности может и не иметь собственных значений, но в пространстве нечетной размерности имеет хотя бы одно.
Теорема 7.11. Для того чтобы линейный оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы он сохранял длины векторов.
►Необходимость очевидна.
Достаточность (доказываем для комплексного случая). Пусть f сохраняет длины векторов, т. е. . Тогда :
. (7.19)
Так как (7.19) справедливо для всех комплексных l, то при l = 1 получаем . Если же , то (7.19) принимает вид , и, таким образом, утверждение доказано.◄
Следствие. Ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.
Теорема 7.12. Изометрия любой ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис. Обратно, если линейный оператор некоторый ортонормированный базис пространства переводит в ортонормированный базис, то f – изометрия.
►Первое утверждение, очевидно, справедливо. Действительно, согласно определению, ортонормированный базис переходит в ортонормированную систему из n векторов, которая в силу теоремы 6.4 линейно независима и поэтому в n-мерном линейном пространстве является базисом.
и пусть и – произвольные векторы пространства . Тогда каждый из векторов и можно разложить по базису (7.20): Так как базисы (7.20) и (7.21) ортонормированны, то . Значит,
и, таким образом, f – изометрия.◄
Теорема 7.13. Для того чтобы линейный оператор был изометрией, необходимо и достаточно, чтобы .
►На основании теоремы 7.2 любой линейный оператор имеет сопряженный. Тогда:
{f – изометрия}
[лемма 7.1] { }. (7.22)
Если А – матрица оператора в некотором ортонормированном базисе пространства , то – матрица оператора в том же базисе, и из (7.22) для изометрии получаем
. (7.23)
Из (7.23) вытекает, во-первых, что матрица изометрии невырождена, значит, любая изометрия – невырожденный линейный оператор, причем . Во-вторых, для того чтобы линейный оператор f комплексного евклидова пространства в себя был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была унитарной. Для того чтобы линейный оператор f действительного евклидова пространства в себя был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в некотором, а значит, и в любом ортонормированном базисе пространства была ортогональной.◄