Примеры исследования функций с помощью производных и построение графиков
Пример 1.Исследовать функцию у = и построить ее график.
Решение. 1) Функция у = определена всюду, кроме точки x=1. Отсюда область определения её: (–¥,1) È(1,+¥) .
2) x=1 – точка разрыва функции.
Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:
f (x) = = +¥,
f (x) = = +¥, так как при х®1 знаменатель дроби является положительной бесконечно малой.
= = =+¥;
= = =–¥.
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е. график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0).
4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.
Найдем наклонные асимптоты:
k= = = = = 1, т.е. k =1;
b = ( f (x)– kx ) = = = = = = = = = =2,
т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2.
Легко убедиться, что при x ®–¥ k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной асимптоты такое же y = x+2.
5) Найдем производную функции: y' = =
= = = .
Приравнивая y' к нулю, получим x3–3x2=0, откуда имеем критические точки x1=0, x2=3. Для исследования знака производной в интервале (–¥;0), (0;3) и (3; +¥) на числовой оси отметим точки x=0, x=3 и х=1.
Определим знаки y' = в указанных интервалах.
Таким образом, в интервале (–¥;1) функция возрастает, в интервале (1,3) – убывает, в интервале (3,+ ¥) она возрастает. В точке x=3 функция имеет минимум: f (3) = = = 6,75.
6) Найдем вторую производную:
y''= = = = =
= = , y''=0 при x=0. Так как знаменатель дроби (x–1)4>0 всегда (кроме x=1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x<0 y''<0, при x>0 y''>0.
Точка x=0 является точкой перегиба. При x<0 кривая направлена выпуклостью вверх, так как y''<0, а при x>0 – выпуклостью вниз. В точке перегиба f (x) имеет значение f (0)=0.
Результаты наших исследований объединим в таблицу.
x
(–¥,0)
(0,1)
(1,3)
(3,+¥)
y'
+
+
–
+
y''
–
+
+
+
y
äÇ
точка
перегиба
Èä
не суще–
ствует
æÈ
min
Èä
Строим график функции, предварительно построив асимптоты и отметив точки минимума, перегиба и пересечения графика с осями координат.
Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.
1. Область определения: .
2. Пусть , тогда y=0.Пусть y=0, тогда - решить уравнение точно не удается.
Найдена точка пересечения графика с осями координат.
3. – функция нечетная.
4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.
5. Невертикальные асимптоты.
.
,
.
.
- асимптота при , - асимптота при
.
6. ; при .
, если , откуда и - критические точки. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.
+ - +
-1 1
На интервалах и функция возрастает, а на интервале – убывает.
,
7. ; , если , откуда - критическая точка второго порядка. Нанесем ее на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.
- +
На интервале график выпуклый, а на интервале - выгнутый. - точка перегиба.