Скалярное произведение, ортонормированный базис

Евклидовы пространства

Определение и общая информация

Действительное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре векторов сопоставляется число так, что и выполняются аксиомы:

I.

II.

III.

IV.

Число называют скалярным произведением векторов и , - скалярным квадратом вектора (пишут ). Введенная операция называется скалярным умножением векторов и .

Длина вектора

Длина вектора - число

Свойства:

1)

2)

3) (неравенство Коши-Буняковского);

4) (неравенство треугольника).

Угол между векторами

Углом между векторами и называют угол , для которого

Ортогональные векторы

Векторы ортогональны, если

Нормированные векторы

Вектор называется нормированным или единичным, если

Если то соответствующими этому вектору нормированными векторами будут

Нормированный базис

Система векторов для которой

называется ортонормированной.

Во всяком пространстве существует ортонормированный базис. Из произвольного базиса пространства ортогональный базис может быть построен с помощью процесса ортогонализации:

где

где

. . . . . . . . . . . . . . .

где

Пронормировав каждый вектор получим ортонормированный базис. В ортонормированном базисе ( ) для векторов имеем:

Скалярное произведение, ортонормированный базис

Будем говорить, что в n-мерном действительном линейном пространстве V_п определено скалярное умножение, если всякой паре векторов а, bпоставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом (а, b) и называемое скалярным произведением векторов аи b, причем выполняются следующие условия (здесь а, b, с - любые векторы пространства V_п , a- любое действительное число):

I. (а, b) = (b, b).

II. (а+b, с) = (а, с) + (b, с).

III. (aа, b) = a(а, b).

IV. Если а ¹ 0, то скалярный квадрат вектора а строго положителен,

(а, а)>0.

Отметим, что из III при а=0 следует равенство

(0, b) = 0, (1)

т. е. скалярное произведение нулевого вектора на любой вектор b равно нулю; равен нулю, в частности, скалярный квадрат нулевого вектора.

Из II и III немедленно вытекает следующая формула для скалярного произведения линейных комбинаций двух систем векторов:

(2)

Если в n-мерном линейном пространстве определено скалярное умножение, то это пространство называется n-мернымевклидовым пространством.

При любом п в п-мерном линейном пространстве V_п можно определить скалярное умножение, т. е. можно превратить это пространство в евклидово.

В самом деле, возьмем в пространстве V_п любую базу е₁, е₂, .... е_n. Если

то положим

(3)

Легко проверяется, что условия I - IV будут выполнены, т. е. равенство (1) определяет в пространстве V_п скалярное умножение.

Как видно, что в n-мерном линейном пространстве скалярное умножение можно задать, вообще говоря, многими различными способами - определение (3) зависит, понятно, от выбора базы, а мы пока не знаем, кроме того, нельзя ли ввести скалярное умножение и каким-либо принципиально иным способом. Нашей ближайшей целью является обозрение всех возможных способов превращения n-мерного линейного пространства в евклидово пространство и установление того, что в некотором смысле для всякого п существует одно-единственное n-мерное евклидово пространство.

Пусть дано произвольное n-мерное евклидово пространство Е_п, т. е. в n-мерном линейном пространстве произвольным способом введено скалярное умножение. Векторы аи bназываются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,

(а,b) = 0.

Из (1) следует, что нулевой вектор ортогонален к любому вектору; могут существовать, однако, и ненулевые ортогональные векторы.

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Всякая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Пусть, в самом деле, в Е_п дана система векторов b₁, а₂, ..., а_k, причем, b_i¹0, i=1, 2,…, k и

(b_i, b_j) = 0 при i¹j. (4)

Если

a₁а₁+ a₂а₂+ …+a_kа_k=0,

то, скалярно умножая обе части этого равенства на вектор а_i, 1£i£k, получаем ввиду (1), (2) и (4):

0=(0, а_i)=(a₁а₁+ a₂а₂+ …+a_kа_k, а_i)=

=a₁(а₁, а_i)+ a₂(а₂, а_i)+…+ a_k(а _k, а_i)= a_i(а_i, а_i)

Отсюда, так как (а_i, а_i)>0 по IV, вытекает a_i= 0, i=1, 2, . .., k, что и требовалось доказать.

Сейчас будет описан процесс ортогонализации, т. е. некоторый способ перехода от любой линейно независимой системы из k векторов

a₁, а₂, ..., а_k, (5)

евклидова пространства Е_п к ортогональной системе, также состоя­щей из Н ненулевых векторов; эти векторы будут обозначены через b₁, b₂, ..., b_k.

Положим b₁=а₁, т. е. первый вектор системы (5) войдет и в строящуюся нами ортогональную систему. Положим, далее,

b₂ = a₁b₁ + а₂.

Так как b₁ = а₁, а векторы a₁ и а₂ линейно независимы, то векор b₂отличен от нуля при любом числе a₁. Подберем это число из условия, что вектор b₂должен быть ортогонален к вектору b₁;

0=(b₁, b₂)= (b₁, a₁b₁ + а₂)= a₁(b₁, b₁) + (b₁, a₂)

откуда, ввиду IV,

Пусть уже построена ортогональная система ненулевых векторов b₁, b₂, ..., b_l.;дополнительно предположим, что для всякого i, 1£i£l, вектор b_i является линейной комбинацией векторов а₁ а₂, ..., а_i. Это предположение будет выполняться тогда и для вектора b_i+1, если он будет выбран в виде

b_i+1=a₁b₁ +a₂b₂ + … +a_lb_l + a_l+1

Вектор b_i+1 будет при этом отличен от нуля, так как система (5) линейно независимая, а вектор а₁₊₁не входит в записи векторов b₁, b₂, ..., b_l. Коэффициенты a_i, i= 1, 2, . . ., l подберем из условия, что вектор b_i+1 должен быть ортогонален ко всем векторам b_i, i= 1, 2, . . ., l:

0=(b_i, b_l+1)= (b_i, a₁b₁ +a₂b₂ + … +a_lb_l + a_l+1)=

= a₁(b_i, b₁) + a₂(b_i, b₂) + …+a_l(b_i, b_l) + (b_i, a_l+1);

отсюда, так как векторы b₁, b₂, ..., b_l ортогональны между собой,

a_i(b_i, b_i) + (b_i, a_l+1)=0,

т. е.

Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему b₁, b₂, ..., b_k.

Применяя процесс ортогонализации к произвольной базе про­странства Е_п, мы получим ортогональную систему из пненулевых векторов, т. е., так как эта система по доказанному линейно не­зависима, ортогональную базу. При этом, используя замечание, сделанное в связи с первым шагом процесса ортогонализации, а также учитывая, что всякий ненулевой вектор можно включить в некоторую базу пространства, можно сформулировать даже следующее утверждение:

Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базами, причем любой ненулевой вектор этого пространства входит в состав некоторой ортогональной, базы.

В дальнейшем важную роль будет играть один специальный вид ортогональных баз; базы этого вида соответствуют прямоугольным декартовым системам координат, используемым в аналитической геометрии.

Назовем вектор b нормированным, если его скалярный квадрат равен единице,

(b,b)=1

Если a¹0, откуда (а, а)>0, то нормированием вектора аназывается переход к вектору

Вектор bбудет нормированным, так как

База е₁, е₂, ..., е_п евклидова пространства Е_п называется орто-нормированной, если она ортогональна, а все ее векторы нормированы, т. е.

(е_i, е_j) при i¹j,

(е_i, е_j), i=1,2,…, n

Всякое евклидово пространство обладает ортонормированными базами.

Для доказательства достаточно взять любую ортогональную базу и нормировать все ее векторы. База останется при этом ортогональной, так как при любых a и b из (а, b) = 0 следует

(aа, bb) = ab(а, b) = 0.

База e₁, e₂,…, e_n евклидова пространства E_n тогда и только тогда будет ортонормированной, если скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений соответственных координат этих векторов в указанной базе, т. е. из

(7)

следует

(8)

Действительно, если для нашей базы выполняются равенства (6), то

Обратно, если выбранная база такова, что для любых векторов a и b, записанных в этой базе в виде (7), справедливо равенство (8), то, беря в качестве a и b любые два вектора этой базы e_i и e_j, различные или одинаковые, мы из (8) выведем равенство (6).

Сопоставляя полученный сейчас результат с изложенным ранее доказательством существования n-мерных евклидовых пространств для любого n, можно сформулировать следующее утверждение: если в n-мерном линейном пространстве V_n выбрана произвольная база, то в V_п можно так задать скалярное умножение, что в полученном евклидовом пространстве выбранная база будет одной из ортонормированных баз.

ГРАМА МАТРИЦА

- квадратная матрица

составленная из попарных скалярных произведений элементов (векторов) (пред)гильбертова пространства. Г. м. всегда неотрицательна. Она положительно определена, если а ₁, а ₂,..., а _k линейно независимы. Справедливо обратное: любая неотрицательная (положительно определенная) (kx k)-матрица есть нек-рая Г. м. (с линейно независимыми определяющими векторами).

Если суть га-мерные векторы (столбцы) n-мерного евклидова (эрмитова) пространства собычным скалярным произведением

то

где Аесть -матрица, составленная из столбцов , знак ^T означает операцию транспонирования матриц, а черта сверху - взятие комплексно сопряженной величины

Поиск по сайту: