УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии

И линейной алгебры

Задача 1

Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Требуется найти:

1) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) Площадь грани А₁А₂А₃;

3) Уравнение плоскости А₁А₂А₃;

4) Объем пирамиды;

5) Уравнения и длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

6) Проекцию А₁А₄ на плоскость А₁А₂А ₃;

7) Уравнение плоскости, параллельной А₁ А₂ А₄, проходящей через А₃

8) Угол между плоскостями А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:

9) Выполнить чертеж пирамиды в пространстве.

1.1 А₁(14; 4; 5), А₂(-5; -3; 2), А₃(-2; -6; -3), А₄(-2; 2; 1).

1.2 А₁(2; -1; 2), А₂( 1; 2; -1), А₃( 3; 2; 1), А₄(-4; 2; 5).

1.3 А₁ (1; 1; 2 ), А₂(-1; 1; 3), А₃ (2; -2; 4 ), А₄(-1; 0; -2).

1.4 А₁( 2; 3; 1 ), А₂( 4; 1; -2), А₃( 6; 3; 7), А₄( 7; 5; -3).

1.5 А₁(1; 1;-1 ), А₂( 2; 3; 1), А₃( 3; 2; 1), А₄( 5; 9; -8).

1.6 А₁(1; 5; -7), А₂( -3; 6; 3), А₃( -2; 7; 3), А₄(-4; 8; -12).

1.7 А₁ (-3; 4; -7 ), А₂(1; 5; -4), А₃ (-5; -2; 0 ), А₄(2; 5; 4).

1.8 А₁( -1; 2; -3 ), А₂( 4; -1; 0), А₃( 2; 1; -2), А₄( 3; 4; 5).

1.9 А₁ (4; -1; 3 ), А₂(-2; 1; 0 ), А₃ (0; -5; 1 ), А₄(3; 2; -6).

1.10 А₁( 1; -1; 1 ), А₂( -2; 0; 3), А₃( 2; 1; -1), А₄( 2; -2; -4).

1.11 А₁(1; -4; 5), А₂(5; -3; 2), А₃(2; -6; -3), А₄(2; 2; 1).

1.12 А₁(12; -1; 2), А₂( 1; -2; -1), А₃( 3; -2; 1), А₄(4; 2; 5).

1.13 А₁ (10; 1; 2 ), А₂(-1; -1; 3), А₃ (2; 2; 4 ), А₄(-1; 0; -2).

1.14 А₁( -2; 3; 1 ), А₂( 4; -1; -2), А₃( 6; -3; 7), А₄( 6; 5; -3).

1.15 А₁(11; 1;-1 ), А₂( 2; -3; 1), А₃( 3; -2; 1), А₄( 5; 0; -8).

1.16 А₁(1; -5; -7), А₂( 3; 6; 3), А₃( -2; -7; 3), А₄(-4; 8; -12).

1.17 А₁ (3; 4; -7 ), А₂(1; -5; -4), А₃ (-5; 2; 0 ), А₄(2; 5; -4).

1.18 А₁( 1; 2; -3 ), А₂( 4; 1; 0), А₃( 2; -1; -2), А₄( 3; -4; 5).

1.19 А₁ (4; 1; 3 ), А₂(-2; -1; 0 ), А₃ (0; 5; 1 ), А₄(3; -2; -6).

1.20 А₁( 12; -1; 1 ), А₂( 2; 0; 3), А₃( 2; -1; -1), А₄( 2; -2; -4).

Задача 2

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами:

1) методом Гаусса,

2) методом Крамера,

3) средствами матричного исчисления.

2.1 2.2

2.3 2.4

2.5 2.6

2.7 2.8

2.9 2.10

2.11 2.12

2.13 2.14

2.15 2.16

2.17 2.18

2.19 2.20

Введение в математический анализ

Задача 3

Найти пределы функции.

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11 a)

б)

3.12 a)

б)

3.13 a)

б)

3.14 a)

б)

3.15 a)

б)

3.16 a)

б)

3.17 a)

б)

3.18 a)

б)

3.19 a)

б)

3.20 a)

б)

Производная и ее приложения

Задача 4

Найти производные заданных функций

(в случаях г и д найти производные второго порядка ).

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11 а) б) в)

г) д)

4.12 а) б) в)

г) д)

4.13 а) б) в)

г) д)

4.14 а) б) в)

г) д)

4.15 а) б) в)

г) д)

4.16 а) б) в)

г) д)

4.17 а) б) в)

г) д)

4.18 а) б) в)

г) д)

4.19 а) б) в)

г) д)

4.20 а) б) в)

г) д)

Функции нескольких переменных

Задача 5

5.1 Дана функция . Показать, что

5.2 Дана функция . Показать, что

5.3 Дана функция . Показать, что

5.4 Дана функция . Показать, что

5.5 Дана функция . Показать, что

5.6 Дана функция . Показать, что

5.7 Дана функция . Показать, что

5.8 Дана функция . Показать, что

5.9 Дана функция. . Показать, что

5.10 Дана функция . Показать, что

5.11 Дана функция . Показать, что

5.12 Дана функция . Показать, что

5.13 Дана функция . Показать, что

5.14 Дана функция . Показать, что

5.15 Дана функция . Показать, что

5.16 Дана функция . Показать, что

5.17 Дана функция . Показать, что

5.18 Дана функция . Показать, что

5.19 Дана функция . Показать, что

5.20 Дана функция . Показать, что

Задача 6

Дана функция точка и вектор . Найти: 1) grad z в точке А ; 2) производную в точке А по направлению вектора .

6.1 z = 3x²y² + 5xy²; A(1; 1), .

6.2 z = 3x⁴ + 2x²y³; A(-1; 2), .

6.3 z =ℓn(3x² + 4y²); A(1; 3), .

6.4 z = arсsin ; A(1; 2), .

6.5 z = arсtg ( xy²); A(2; 3), .

6.6 z = 5x² + 6xy; A(2; 1), .

6.7 z =ℓn(5x² + 4y²); A(1; 1), .

6.8 z =ℓn(5x² + 3y²); A(1; 1), .

6.9 z = 2x² + 3xy+y²; A(2; 1), .

6.10 z = x² + xy+y²; A(1; 1), .

6.11

6.12

6.13

6.14

6.15

6.16

6.17

6.18

6.19

6.20

Интегралы

Задача 7

Найти неопределенные интегралы. В двух первых примерах (п. а) и б)) проверить результаты дифференцированием.

7.1 а) ; б) ; в) ; г) .

7.2 а) б) в) ; г) .

7.3 а) ; б) ; в) ; г) .

7.4 а) ; б) ; в) ; г) .

7.5 а) ; б) ; в) ; г) .

7.6 а) ; б) ; в) ; г) .

7.7 а) ; б) ; в) ; г) .

7.8 а) ; б) ; в) ; г) .

7.9 а) ; б) ; в) ; г) .

7.10 а) ; б) ; в) ; г) .

7.11 а) б) в) г)

7.12. а) б) в) г)

7.13. а) б) в) г)

7.14. а) б) в) г)

7.15. а) б) в) г)

7.16. а) б) в) г)

7.17. а) б) в) г)

7.18. а) б) в) г)

7.19. а) б) в) г)

7.20. а) б) в) г)

Задача 8

Вычислить площадь области, ограниченной линиями.

Дифференциальные уравнения

Задача 9

Найти общие интегралы дифференциальных уравнений

9.1. а) б)

9.2. а) б)

9.3. а) б)

9.4. а) б)

9.5. а) б)

9.6. а) б)

9.7. а) б)

9.8. а) б)

9.9. а) б)

9.10. а) б)

9.11. а) б)

9.12. а) б)

9.13. а) б)

9.14. а) б)

9.15. а) б)

9.16. а) б)

9.17. а) б)

9.18. а) б)

9.19. а) б)

9.20. а) б)

Задача 10

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения при данных начальных условиях .

10.1 ; .

10.2. ; .

10.3. ; .

10.4. ; .

10.5. ; .

10.6. ; .

10.7. ; .

10.8. ; .

10.9. ; .

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Задача 1 Даны координаты вершин пирамиды А₁А₂А₃А₄.

Требуется найти:

1) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄;

2) Площадь грани А₁А₂А₃;

3) Уравнение плоскости А₁А₂А₃;

4) Объем пирамиды;

5) Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃;

6) Проекцию А₁А₄ на плоскость А₁А₂А₃;

7) Уравнение плоскости, параллельной А₁А₂А₄, проходящей через вершину А₃;

8) Угол между плоскостями А₁А₂А₃ и А₁А₂А₄;

9) Выполнить чертеж пирамиды в пространстве.

А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3), А₄(4; -2; 0).

Решение

1) Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄ найдем как угол между векторами и .

{1-2; 1-0; -4+3}={-1; 1; -1}

{4-2; -2-0; 0+3}={2; -2; 3}

Найдем длины векторов

и

Косинус угла между векторами и равен

φ = arсcos (-0,9802)=π-arccos 0,9802= 168°36^/

2) Для нахождения площади грани А₁А₂А₃ используем векторное произведение векторов .

{0-2; -1-0; 3-(-3)}={-2; -1; 6}

S∆=

{-1; 1; -1} , {-2; -1; 6}

{5; 8; 3}

S∆= (кв.ед.)

3) Найдем уравнение плоскости А₁А₂А₃, зная, что А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3).

5х+8y+3z-1=0 – уравнение плоскости А₁А₂А₃.

4) Для нахождения объема пирамиды используем смешанное произведение векторов , , , приняв во внимание, что треугольная пирамида составляет объема параллелепипеда.

= {-1; 1; -1}, = {-2; -1; 6}, = {2; -2; 3}

= (куб.ед.)

5) V_пир.= S_осн H

А₄

	А1

высоты А₄О

_{Рисунок 1 - Пирамида}

Воспользуемся формулой Канонического уравнения прямой для нахождения уравнения высоты А₄О, учитывая, что в качестве направляющего вектора прямой А₄О служит нормаль к плоскости А₁А₂А₃ вектор {5; 8; 3}, и прямая А₄О проходит через точку А₄(4; -2; 0).

уравнение высоты.

6) Проекцией А₁А₄ на плоскость А₁А₂А₃ является А₁О. Из треугольника А₁А₄О найдем

А₁А₄= , А₄О=0,3

А₁О= (лин. ед.)

7) Сначала найдем уравнение плоскости А₁А₂А₄ , получим:

- уравнение плоскости А₁А₂А₄

Так как искомая плоскость параллельна А₁А₂А₄, то нормаль у них одинаковая: {1; 1; 0}.

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через данную точку А₃(0; -1; 3) .

- уравнение искомой плоскости.

8) Воспользуемся найденными уравнениями плоскостей А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям.

{5; 8; 3}, {1; 1; 0}

9) А₁(2; 0; -3), А₂(1; 1; -4), А₃(0; -1; 3), А₄(4; -2; 0)

Рисунок 2 – Чертеж пирамиды в пространстве

Задача 2

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя способами:

1) методом Крамера;

2) методом Гаусса;

3) средствами матричного исчисления

Решение

Составим матрицу системы и найдем ее ранг

Вычислим определитель этой матрицы

Следовательно, и равен числу неизвестных системы, поэтому система совместна и имеет единственное решение.

1) Вычислим вспомогательные определители:

Находим решение системы

, ,

Ответ: (1; -2; 3)

2) Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных.

Чтобы иметь при первом неизвестном единицу в первом уравнении вычтем из второго уравнения первое, результат поставим вместо первого уравнения.

Для исключения коэффициентов при первом неизвестном умножим первое уравнение на 3 и вычтем из него второе уравнение, затем первое уравнение умножим на 4 и вычтем из него третье уравнение, в результате получим:

Уравняем коэффициенты при втором неизвестном, для этого второе уравнение умножим на 33, третье – на 17, затем вычтем из второго третье уравнение:

Завершили прямой ход метода Гаусса, привели систему к треугольному виду. Произведем обратный ход. Из последнего уравнения найдем .

, подставим во второе уравнение

,

Подставим и в первое уравнение

,

Ответ: (1; -2; 3)

3) Введем матрицы

, , .

Найдем алгебраические дополнения .

; ; ;

; ; ;

; ;

Найдем матрицу Х , учитывая, что .

Ответ: (1; -2; 3)

Задача 3

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

1) при а) х₀ = 2 б) х₀ = 1 б) х₀ = ¥

2) 3) 4)

Решение

1) а)

б)

в)

Поиск по сайту: