Произво́дная (функции в точке) – основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс – нахождение первообразной – интегрирование.
Иллюстрация понятия производной
Производной функции f в точке x0 называется предел, если он существует:
.
Общепринятые обозначения производной функции при значении аргумента x:
.
Геометрический смысл производной
На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C5). Расстояние Δx = x – x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C5 – C1). Тангенс угла α наклона этой касательной – и есть производная в точке x0.
В зависимости от целей, области применения и используемого математического аппарата используют различные способы записи производных. Так, производная n-го порядка может быть записана способами:
Лагранжа , при этом для малых n часто используют штрихи и римские цифры:
и т.д.
Такая запись удобна своей краткостью и широко распространена; однако штрихами разрешается обозначать не выше третьей производной.
Лейбница, удобная наглядной записью отношения бесконечно малых (только в случае, если x – независимая переменная; в противном случае обозначение верно лишь для производной первого порядка):
.
Ньютона, которая часто используется в механике для производной по времени функции координаты (для пространственной производной чаще используют запись Лагранжа). Порядок производной обозначается числом точек над функцией, например:
– производная первого порядка x по t при t=t0, или – вторая производная f по x в точке x0 и т.д.
Эйлера, использующая дифференциальный оператор (строго говоря, дифференциальное выражение, пока не введено соответствующее функциональное пространство), и потому удобная в вопросах, связанных с функциональным анализом: