Составим макет таблицы 1.7 и перенесем в него исходные данные из таб.1.4
Задача 1.5. Расчет средней арифметической, моды и медианы в интервальном ряду распределения
Условие: Имеются данные интервального ряда распределения хозяйств по урожайности сахарной свеклы ( результаты решения задачи 1.1 в таб.1.4.)
Определить среднюю арифметическую, моду и медиану урожайности культуры и сделать выводы.
Решение
Составим макет таблицы 1.7 и перенесем в него исходные данные из таб.1.4
А) Расчетсредней арифметической величиныпроводится повзвешеннойформе, аналогично расчету в дискретному ряду с тем различием, что за индивидуальные значения признака (Хi) в интервальном ряду условно принимаем серединные значения интервалов. Срединные значения интервалов определяем как полусумму значений нижней и верхней границ интервалов ( графа 2).
Например, Х1 = , Х2 = и т.д.
Таблица -1.7 Исходные и расчетные данные для определения средней
арифметической величины, моды и медианы в интервальном ряду
№п/п
Интервал
по урожайности, т/га
Число хозяйств
( fi )
Срединное
значение
интервала
(Хi)
Произведение вариант на
частоту
(Хi fi)
Накоплен
ные
частоты
(Sf)
22,0 - 26,0
26,0 - 30,0
30,0 - 34,0
34,0 - 38,0
38,0 - 42,0
42,0 - 46,0
46,0 - 50,0
50,0 - 54,0
54,0 - 58,0
Итого
х
х
б) Найдем произведение вариант (Хi) на частоту ( fi) и сумму произведений (итог графы 5).
в) Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную величину по формуле
Вывод: Средняя урожайность сахарной свеклы в изучаемой совокупности хозяйств составляет 39,5 т/га.
Примечание: средняя арифметическая по данным интервального ряда (39,5) незначительно отличается от средней, определенной по данным ранжированного ряда (39,75 т/га). Расхождение обусловлено тем, что в интервальном ряду расчеты проводились по усредненным значениям Х iв каждом интервале, а не по конкретным Х i.
Б) Определим модальное значение признака ( ХMO)в интервальном ряду
Расчетный(интерполяционный)метод
Модальное значение определяется поэтапно: сначала определяется модальный интервал, затем в нем находится Хmo.
а) Определяем модальный интервал. Модальным будет интервал с наибольшей частотой встречаемости признака. В примере модальный интервал (34,0 – 38,0) , так как он имеет максимальную частоту - 50.
б) Вычисляем модальное значение признака, для чего используем формулу
, где
x0 --начальное значение модального интервала
f mo-частота модального интервала
f mo-1 - частота интервала, предшествующая модальному интервалу.
f mo+1 - частота интервала, следующего за модальным интервалом.
h -шаг интервала
Графический метод
С этой целью используется гистограмма распределения (рис.1.3). Перенесем график на рис.1.5.
а) Определим модальный интервал, т.е. столбик гистограммы с наибольшей высотой.
б) Точку, соответствующую верхней границе модального интервала, соединяем отрезком прямой с точкой, соответствующей верхней границе предыдущего перед модальным интервала. Точку, соответствующую нижней границе модального интервала, соединяем с точкой, соответствующей нижней границе интервала, последующего за модальным. Из точки пересечения прямых опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и фиксируем модальное значение признака.
Искомая точка на графике соответствует модальному значению - 37 (т/га)
Вывод: Наиболее часто в хозяйствах совокупности получают урожайность в размере 37 т/га.
Расчет медианы в интервальном ряду :
Расчетный (интерполяционный)метод
Определение медианы в интервальном ряду по алгоритму схоже с определением модального значения: сначала определяется медианный интервал, а затем в нем по формуле рассчитывается конкретное значение медианы.
а) Для определения медианного интервала для каждого интервала определим накопленную частоту (таб.1.7, графа 6). Установим адрес медианы по формуле n мe = . Адрес медианы n мe = . Таким образом, медианное значение признака равно половине суммы индивидуальных значений единиц с адресом n85 и n86 . Х me= . Обе единицы находятся в интервале 38,0-42,0. Он является медианным.
б) Рассчитаем медианное значение признака по формуле