Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Проверка гипотезы об однородности двух ГС по критерию Манна-Уитни



(по критерию числа инверсий)

1. Обработка выборок.

 

Пусть - выборка из ГС I,

- выборка из ГС II, допустимо m n .

 

Условие 1. Выборки должны быть независимыми.

Условие 2. Среди чисел нет совпадающих.

Это выполнено с вероятностью 1, если Х - непрерывная случайная величина.

 

Проводится подсчёт числа инверсий в упорядоченных парах из элементов данных выборок: Число таких упорядоченных пар равно

 

Определение. Пара даёт одну инверсию, если . Если , то в паре инверсии нет. Случай пока исключается.

 

Вернёмся к примеру 1. Пусть получены выборки:

физики: 111, 104, 107, 90, 115, 106 m = 6,

психологи: 113, 108, 123, 122, 117, 112, 105 n = 7,

 

Число инверсий

Для другого порядка выборок

 

Проверка. (см. свойства статистики критерия).

 

2. Статистика критерия Манна-Уитни

 

= число инверсий в выборках

 

Свойства статистики.

 

1)

2) ,

 

так как одна и только одна из пар обязательно даёт одну инверсию, а число пар равно

 

3.

 

Основа статистики

 

1) Если гипотеза верна (законы распределения ГСI и ГСII совпадают), то для любых i, j

 

, (*)

 

поэтому, в среднем, Таким образом, при верной

 

2) Возьмём для простоты m = n. При верной , так как репрезентативные выборки достаточно хорошо отражают свойства генеральных совокупностей, общий вариационный ряд сделанных выборок имеет вид

 

При неверной (*) нарушается, например и тогда в общем вариационном ряду большая часть элементов расположится в левой половине вариационного ряда, из-за чего станет значительно меньше, чем При самой большой неоднородности распределений ГС I и ГС II общий вариационный ряд имеет вид

 

Следовательно, статистика критерия оценивает близость распределений ГСI и ГСII по близости её выборочного значения к mn/2.

 

3. По данному УЗ α при использовании двустороннего критерия Манна-Уитни по таблицам его критических значений находят левое и правое критические значения. Допустимая для принятия m и n область имеет вид

 

4. По выборкам находят выборочное значение статистики критерия. Если , то принимается и вероятность ошибки в принятии в точности равна α . В противном случае отклоняется.

 

Замечания

 

1. Часто в таблицах приводится только левое или правое критическое значение. Тогда недостающее критическое значение находят из равенства .

 

2. При больших m и n (≥ 50) критические значения статистики критерия приближённо находятся по таблицам квантилей стандартного нормального распределения. Известно, что при больших m и n

 

Поэтому, если - квантиль стандартного нормального распределения, то отклоняется.

 

3. Важно. Если в выборках имеется l совпадений, то статистику критерия считают по поправочной формуле

Если число совпадений превышает число инверсий, то пользоваться критерием Манна-Уитни не рекомендуется.

 

Окончание примера 1.

 

Возьмём α = 0,05, тогда α/2 = 0,025.

 

По таблицам (0,025; 6; 7) = 6, тогда (0,025; 6; 7) =36. Так как ,

принимается.

Лучше применить левосторонний критерий, так как = 8 ближе к 0 (к левому краю), чем к 21 (к середине). По таблицам (0,05; 6; 7) = 8, , поэтому принимается.

 

Общее правило. Если выборочное значение статистики критерия близко к середине (mn/2), то применяют двусторонний критерий, а если к краю (к 0 или к mn) – то соответствующий односторонний критерий.

 

Ранжирование выборки

 

Рассматривается ГС со случайным признаком Х , измеренным в порядковой шкале. Вариационный ряд выборки объёма n из этой ГС в идеальном случае имеет вид (например, в случае непрерывной случайной величины Х , когда вероятность совпадения двух значений в выборке равна 0). Но на практике в выборке могут быть одинаковые значения, тогда вариационный ряд имеет вид .

 

Ранжированные выборки - это приписывание каждому члену вариационного ряда его порядкового номера – ранга в вариационном ряду выборки.

 

Пример 1. Выборка 2, 5, 19, 8, 1, 4.

Вариационный ряд 1, 2 4, 5, 8, 19.

Ранги членов 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 

Сложности в ранжировании возникают, когда среди элементов выборки встречаются совпадения, Тогда используют средние ранги , которые могут быть дробными.

 

Пример 2.

Вариационный ряд 1 1 2 2 2 4 5 19,

Ранги членов 1,5 1,5 4 4 4 6 7 8,

 

так как 1,5 = (1 + 2) / 2 , 4 = (3 + 4 + 5) / 3.

 

При большом числе совпадающих значений в выборке следует либо повысить точность измерения признака Х , либо перейти к номинативной шкале.

 

 

Проверка гипотезы об однородности двух ГС по критерию Уилкоксона (по критерию суммы рангов)

Этот критерий эквивалентен критерию Манна-Уитни.

Постановка задачи – как в критерии Манна-Уитни.

 

Проверка гипотезы по критерию Уилкоксона

 

1. Предварительная обработка выборок.

 

Записывается вариационный ряд для выборок из ГС I и ГС II. Затем общий вариационный ряд ранжируется.

 

2. Статистика критерия Уилкоксона (статистика суммы рангов)

 

W(m, n) = сумма рангов элементов выборки из ГС I в общем вариационном ряду. Аналогично можно определить статистику W(n, m).

 

Существует связь статистик Уилкоксона и Манна-Уитни:

.

Поэтому применение критерия Уилкоксона даёт тот же результат, что и критерий Манна-Уитни.

 

3. По данному УЗ α при использовании правостороннего критерия по таблицам находят

.

Для левостороннего критерия

. (*)

 

При двустороннем критерии по таблицам находят и по формуле (*) - .

 

3. По выборкам находят выборочное значение статистики критерия. Если попадает в допустимую область, то принимается. В противном случае отвергается.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.