1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
+
0 0000100
0 0000111
0 0001011
Получен правильный результат.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
+
0 0000100
-11
1 1110100
Обратный код числа -11
-7
1 1111000
Обратный код числа -7
Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -710.
3. А отрицательное, B положительное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
-4
+
1 1111011
Обратный код числа -4
0 0001011
0 0000110
+1
0 0000111
Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.
4. А и В отрицательные. Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
-4
+
1 1111011
Обратный код числа -4
- 7
1 1111000
Обратный код числа -7
-11
1 1110011
+1
1 1110100
Обратный код числа -11
Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1010 вместо обратного кода числа -1110) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001011 = -1110.
При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядов формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.
5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n-1 = 27 = 128). Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
+
0 1000001
0 1100001
1 0100010
Переполнене
Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.
6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n-1. Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
- 63
+
1 1000000
Обратный код числа -63
- 95
1 0100000
Обратный код числа -95
-158
0 1110011
Переполнение
+1
Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.
Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:
1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.
2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
+
0 0000100
-11
1 1110101
Дополнительный код числа -11
-7
1 1111001
Дополнительный код числа -7
Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -710.
3. А отрицательное B положительное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
-4
+
1 1111100
Дополнительный код числа -4
0 0001011
+7
0 0000111
Перенос отбрасывается
Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
4. А и В отрицательные. Например:
Десятичная запись
Двоичные коды
+
-4
+
1 1111100
Дополнительный код числа -4
-7
1 1111001
Дополнительный код числа -7
-11
1 1110101
Дополнительный код числа -11
Перенос отбрасывается
Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.
Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.
Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:
на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.
Умножение и деление
Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.
Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.
Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.
Накапливающий сумматор
Множитель
+
+
Сдвиг на две позиции влево
+
Сдвиг на одну позицию влево
+
Сдвиг на две позиции влево
Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.