Определение. Число А называется пределом функцииy = f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число S > 0 (зависящее от ε : S = S(ε)), что для всех х таких, что |x| > S, верно неравенство
|f(x) – A| < ε. (1)
Этот предел функции обозначается
или f(x) → А при х → ∞.
С помощью логических символов определение можно записать в виде
Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличаются от числа А(по абсолютной величине).
Выясним геометрический смысл предела функции в бесконечности. Неравенство |f(x) – A| < ε равносильно двойному неравенству A- ε < f(x) < A+ ε, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε.
Итак, число А есть предел функции y = f(x) при х → ∞, если для любого числа ε > 0 найдется такое число S > 0, что для всех х таких, что |x| > S, соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A- ε < у < A+ ε, какой бы узкой эта полоса не была.
Замечание. Приведенное определение предела при х → ∞ предполагает неограниченное возрастание переменной х по абсолютной величине. Можно сформулировать понятие предела при стремлении х к бесконечности определенного знака, т. е. при х → +∞ и х → -∞. В первом случае основное неравенство (1) должно выполняться для всех х таких, что x > S, а во втором - для всех х таких, что x < -S.
Предел функции в точке. Пусть функция y = f(x) задана в некоторой окрестности точки х0, кроме, может быть, самой точки х0.
Определение. Число А называется пределом функцииy = f(x) при х, стремящемся к х0,если для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 найдется такое положительное число δ > 0 (зависящее от ε : δ = δ(ε)), что для всех х, не равных х0 и удовлетворяющих условию |x – x0| < δ, выполняется неравенство
|f(x) – A| < ε. (2)
Этот предел функции обозначается
или f(x) → А при х → х0.
С помощью логических символов определение можно записать в виде
Смысл определения состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0 , значения f(x) как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине).
Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x) – A| < ε равносильно двойному неравенству A- ε < f(x) < A+ ε, соответствующему расположению части графика в полосе шириной 2ε. Аналогично неравенство |x – х0| < δ равносильно двойному неравенству х0- δ < x < х0+ δ , соответствующему попаданию точек х в δ-окрестность точки х0.
Итак, число А есть предел функции y = f(x) при х → х0 , если для любого числа ε > 0 найдется такая δ-окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции f(x) будут заключены в полосе A- ε < у < A+ ε, какой бы узкой эта полоса не была.
Замечание 1. Определение предела не требует существования функции в самой точке х0. Другими словами, рассматривая предел функции в точке х0, предполагается, что х стремится к х0, но не достигает значения х0. Поэтому наличие или отсутствие предела при х → х0 не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке х0 .
Замечание 2. Если при стремлении х к х0 переменная х принимает лишь значения, меньшие х0, или, наоборот, лишь значения, большие х0, и при этом функция f(x) стремится к некоторому числу А, то говорят об односторонних пределах функции f(x), левостороннем и правостороннем:
Очевидно, что определение этих пределов будет аналогично рассмотренному выше при х → х0, если вместо значений х, удовлетворяющих условию |x – x0| < δ, при которых выполняется неравенство (2), рассматривать значения х такие, что x0-δ < x < x0 при х → х0 - 0 (слева), или значения х такие, что x0 < x < x0 +δ при х → х0 + 0 (справа).
Разумеется, если
Свойства пределов.
1. Если предел функции существует, то он единствен;
Обозначим А = и В = . Тогда
2. А + В;
3. А ∙ В.
В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела
С∙ А;
4. = ;
5. Если = А, и = и0, то предел сложной функции
= А.
6. Если в некоторой окрестности точки х0 (или при достаточно больших х) f(x) ≤ g(x), то
≤ .
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой (б.м.) в окрестности точки х0, если = 0.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой (б.б.) в окрестности точки х0, если = ∞.
Определение. Функция f(x) называется ограниченной в окрестности точки х0, если для всех х из этой окрестности.
Свойства б.м. и б.м. величин.
1) Произведение б.м. величины на ограниченную функцию есть б.м.;
2) Отношение ограниченной функции к б.м. величине есть б.б. величина;
3) Произведение б.б. величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б.б. величина;
4) Отношение ограниченной функции к б.б. величине есть б.м. величина.
Определение. Две б.м. величины α1(х) и α2(х) называются эквивалентными (обозначение α1(х) ~ α2(х)) в окрестности точки х0, если предел их отношения равен единице, т. е.
Это означает, что эквивалентные б.м. величины взаимозаменяемы при вычислении пределов.