Если , но остается меньше а, то говорят о левом пределе функции в точкеа и записывают ; если ,то говорят о правом пределе функции в точке А и записывают >a).
В случае левого предела <x< ., в случае правого предела <x< .
Очевидно, если
Если и , при этом , то не существует предела (рис.5.2.3).
y
А2
А1
0 а х
Рис.5.2.3
Т.к. определение функции связано с двумя последовательностями: аргументов и значений функции , то все теоремы, рассмотренные выше для пределов числовой последовательности, справедливы и для пределов функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства.
Бесконечно малые величины.
Определение. Функция α(х) называется бесконечно малой величинойпри или при , если её предел равен нулю: .
Зная определение предела функции при и , можно дать развернутое определение бесконечно малой величины.
Определение.Функция α(х) называется бесконечно малой величинойпри , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа >0, найдется такое положительное число >0(зависящее от ), что для всех х , не равных и удовлетворяющих условию < (5.3.1) будет верно неравенство < (5.3.2)
С помощью логических символов приведем это определение к виду:
(α (х)- бесконечно малая величина при , или )
>0)( >0) ( < ) <
Аналогично можно сформулировать определение бесконечно малой величины при , если основное неравенство (5.4) рассматривать для достаточно больших х. приводим его в краткой форме:
(α (х)- бесконечно малая величина при , или )
>0)( >0) ( >S) < .
Например, функции y=cos x при и при есть бесконечно малые величины, ибо их пределы равны нулю.
Не следует путать бесконечно малую переменную и величину α (х) с очень малым, но постоянным числом >0 .
Во-первых, бесконечно малая величина – это переменная величина, в то время, как сколь угодно малая величина >0- это фиксированное постоянноечисло.
Отдельные значения бесконечно малой могут быть достаточно большими. Существенно лишь то, что по мере приближения (или ) функция α (х) в соответствии с (5.4) окажется меньше числа Т.е. α (х) может быть меньше заданного достаточно малого числа в процессе.
Пример. Рассмотрим функцию при .
;…, ;
Видим, что отдельные значения функции достаточно велики: и т.д.
Покажем, что может стать по модулю меньше числа >0.
< , если > или > , но , т.е. > откуда > . При таких значениях х функция < . Например , если , то < , если >