СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то обратная ей функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.
Примеры.
1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .
2. .
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Примеры.
1. .
2. .
3. , так как функции и - бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
.
Пример. .
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
.
Пример. .
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ .
1. .
2.
При разложении числителя на множители воспользовались правилом деления многочлена на многочлен «углом». Так как число x=1 является корнем многочлена x3 – 6x2 + 11x– 6, то при делении получим
3.
4. .
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ .
1. .
При вычислении предела числитель и знаменатель данной дроби разделили на x в старшей степени.
2. .
3. .
4. .
При вычислении предела воспользовались равенством ,если x<0.
Следующие виды неопределенностей с помощью алгебраических преобразований функции, стоящей под знаком предела, сводят к одному из рассмотренных выше случаев или .
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 0 ·∞.
.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ∞ –∞.
1.
2.
3. .
Задания для работы в аудитории
Покажите, что при последовательность 3, 2 ½, 2 1/3, 2 ¼, …, 2+ , … имеет пределом число 2.
Покажите, что при последовательность 7/3, 10/5, 13/7, …, , … имеет пределом число 3/2.