Задача 4. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, в течение какого промежутка времени тело пройдет по прорытому сквозь Землю вдоль хорды АВканалу от его начала А до конца В (рис.4). При подсчете считать радиус Земли R=6370 км.
Рис. 4
Указание. В теории притяжения доказывается, что тело, находящееся внутри Земли, притягивается к ее центру с силой F, прямо пропорциональной расстоянию r до этого центра. Принимая во внимание, что при r=R (т. е. на поверхности Земли) сила F равна весу тела (F=mg),
мы получим, что внутри Земли
где r=МС - расстояние от точки Мдо центра Земли.
Рис.4
Решение. Поместим начало отсчета О всередине хорды АВ(в этой точке тело, находящееся в канале, было бы в равновесии) и направим ось Ох вдоль линии ОА. Если обозначить длину хорды АВ через 2а, то начальные условия задачи будут: при t=0, х=а, vx=0.
Рис.4
В произвольном положении на тело действуют силы F и N. Следовательно,
так как из чертежа видно, что r cosα =x.
Действующая сила оказалась зависящей от координаты х точки М. Чтобы в этом случае в дифференциальном уравнении движения разделились переменные, учтем, что
.
Тогда, сокращая на m и вводя обозначение , получим:
.
Умножая обе части этого равенства на dx,мы сразу разделяем переменные и, интегрируя, находим:
.
По начальным условиям при х=а, vx=0,следовательно, . Подставляя это значение, найдем:
.
Считая, что в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е. vx<0, берем перед корнем знак минус (легко, однако, проверить, что тот же окончательный результат получится и при знаке
плюс). Тогда, заменяя vx= ,имеем:
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
Подставляя сюда начальные данные (при t=0, х=а), находим, что С2=0. Окончательно закон движения тела в канале будет иметь вид
.
Следовательно, тело будет совершать в канале АВгармонические колебания с амплитудой а.
Найдем теперь время t1, движения тела до конца Вканала; в точке В координата х=а. Подставляя это значение в уравнение движения, получим cos ktt= -1, откуда kt1=π и tt = , учитывая введенное обозначение и произведя подсчет, находим, что время движения по каналу АВ при условиях задачи не зависит от его длины и всегда равно
Этот очень интересный результат породил ряд (пока еще фантастических) проектов прорытия такого канала.
Найдем дополнительно, чему будет равна при движении максимальная скорость тела. Из выражения для vxвидно, что v = vmaxпри x=0, т. е. в точке О. По величине
Если, например, 2а=0,1, R=637 км(приблизительно расстояние от Москвы до Ленинграда), то vmax=395 м/с = 1422 км/ч.