Теорема о сохранении функцией знака своего предела

Если функция в данной точке существует, конечный предел отличается от 0, то в некоторой проколотой окрестности жтой точки функция имеет тот же знак, что и в указанном пределе (в частности, она не равна 0).

9(непрерывность функции на множестве).
Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

функция непрерывна в точке, если предел функции в этой точке совпадает с ее значением в той же самой точке.

Точка разрыва-та точка в которой функция разрывется(кэп) если функция определена в окружности этой точки а в самой точке нет.

101) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.

Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.

2) Сохранение знака непрерывной функции: f(x0)>0Þ$U(x0):f(x)> .

3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)¹0, то функция непрерывна в x0.

4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).

5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0,

g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0.

Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.

Классификация точек разрыва

Если f(x) не является непрерывной в точке x0, то x0 – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x0 , или , функция претерпевает разрыв в точке x0 .

В дальнейшем будет предлагать, что f(x) определена в некоторой окрестности x0 (быть может, односторонней).

Опр. Если существуют конечные пределы

f(x0 - 0) f(x) и f(x0+0) f(x)

и f(x) разрывна в точке x0 , то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом f(x0 - 0)=f(x0+0), то разрыв называется устранимым.

Разрыв не первого рода называется разрывом второго рода.

Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки. Например, пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b].

Она называется непрерывной справа в точке a , если f(a)= f(x). Если существует конечный предел f(a+0) f(x) и f(a)¹ f(a+0) , то такой разрыв называется разрывом первого рода (устранимым).

Непрерывность сложной ф-ии:Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=j(t₀). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t₀. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t₀)|<d может быть записано как |x-x₀|<d , и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква d . Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

Поиск по сайту: