Замечательные пределы

Предел числовой последовательности.

Число a называется пределом числовой последовательности ( , если при n⟶ сама последовательность стремится к числу a.

Пишут: = a.

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся.

Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.

Последовательность, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой последовательностью.

Последовательность, не имеющая предела, называется бесконечно большой.

Теоремы о пределах:

1). Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме(разности) пределов этих последовательностей, т.е. = ;

2). Предел произведения двух последовательностей равен произведению пределов этих последовательностей, т.е. = ;

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

3). Предел частного двух последовательностей равен частному пределов этих последовательностей, т.е. = ;

4).Предел числа равен самому числу.

Пример: 1). = =

2). = = 0 = 6,

3). = = (т.к. первая бесконечность растет быстрее, чем вторая).

4). =( = получили неопределенность вида , чтобы ее раскрыть надо каждый член последовательности разделить на старшую степень = = = = = 1,6.

5). = ( = = = = ,

Самостоятельно: 1). ; 2) ; 3). ; 4). ;

5). ; 6) ; 7) .

Число b называется пределом функции f(x), если при х⟶a сама функция стремится к числу b.

Свойства и теоремы, применяемые для нахождения пределов последовательностей, справедливы и для нахождения пределов функций.

Пример:

1). = 2 =

2). = = ;

3). = = получили неопределенность , чтобы ее раскрыть надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители и выполнить сокращение. = = = 2,

4). = ( ) = = = 3+ 3 = 6,

5). = = 3 = 0 2 =

D= 4 D = 1 8 = 9,

= = = = ,

= = = =

= = = = ;

6). = = если функция содержит корень, то числитель и знаменатель дроби надо умножить на сопряженное выражение = = = = ;

7). = = = = = = = 3

8). = = = =

= = = ;

9). = = получили неопределенность вида , чтобы ее раскрыть надо , умножить и разделить на сопряженное выражение. После чего получим неопределенность вида = = =

= = = = = = = .

Замечательные пределы.

Первым замечательным пределом называется = 1, или = 1.

Пример: 1) = ( ) = = = =1,5.

2) = = = = = .

3) = ( ) = = = =

= 1 = 2.

Самостоятельно:

Н.В.Богомолов, стр.171, № 251(1,3), 253(4).

Числом е ( вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности е = , или е = . Неопред.

Пример:1) = = = .

2) = = = .

3) = = = = .

Самостоятельно:

Н.В.Богомолов, стр.82, № 33(1,2), 34(1), 35(2).

Дома:стр.82, № 36,37,38(1),40,41. Стр.171, № 251(3,4), 253(3).

Домашняя работа: =0, = 0

№36. 1) = =( ) = D = 49 81, D = 121 81,

= ; = ;

= 2. = 2.

= = = =1.

2) = ( ) = =0 = =

D = 4 64.

= = 3.

= = = = 1 .

;

№37. 1) = ( = =

= = = =

= = 2

2) = = = =

= = = = = = .

№38(1). ;

1) =( ) = =

= = =

= = = = .

№40.

= ( ) = = = =

= =

2) = ( = =

= = = ) = =

= = = = .

№41.

Односторонние пределы.

В приведенном определении предела функции 𝔁⟶а (т.е. 𝔁 может быть как меньше , так и больше ), говорят 𝔁 стремится к слева или 𝔁 стремится к справа.

Если при нахождении предела функции рассматривать значения 𝔁 только слева от , то такой предел называется левым или левосторонним и обозначается .

Если при нахождении предела функции рассматривать значения 𝔁 только справа от , то такой предел называется правым или правосторонним и обозначается .

Левый и правый пределы называют односторонними пределами.

Пример: = = = 0,9

= = = • 𝔁

1 1,1

Непрерывность функции.

Функция f(𝔁) называется непрерывной в точке если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1). f(𝔁) определена в точке ,

2). f(𝔁) имеет конечный предел при 𝔁⟶

3). Этот предел равен значению функции в точке т.е.

= f( ).

Пример: Исследовать непрерывность в точке 𝔁 = 0 следующих функций:

1). y = ;

D(y) = 𝔁

В точке 𝔁 = 0 функция не является непрерывной, т.к. нарушено первое условие непрерывности .

y

0 𝔁

2). y = 𝔁 + 1, при 𝔁

𝔁 при 𝔁

1). 𝔁 = 0 ,т.е. функция в точке 0 определена, f(0) = 1.

2). = =

= =

, ⟹ в точке 𝔁 = 0 функция не является непрерывной, т.к. нарушено второе условие непрерывности.

y

•1

0 𝔁

°

3). y = , при 𝔁

1, при 𝔁 = 0.

1). 𝔁 = 0 ,т.е. функция в точке 𝔁 = 0 определена, f(0) =1,

2). = =

= =

⟹ = = 0,

3). f(0) ,

Нарушено третье условие непрерывности, ⟹ функция в точке 𝔁 = 0 не является непрерывной. y

•1

° 𝔁

4). y = .

1).D(y) = 𝔁 , f(0) = 0

2). = =

= = ⟹ = = 0,

3). f(0) = .

Выполнились все три условия непрерывности функции, ⟹ в точке 𝔁 =0 функция является непрерывной. y

0 𝔁

Если условие непрерывности в точке 𝔁 = нарушено . то такую точку называют точкой разрыва функции.

Для элементарных функций справедливы следующие положения:

1.). область непрерывности элементарных функций совпадает с ее областью определения.,

2). Элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого – либо промежутка;

3). Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она неопределена.

Если функция y = f(𝔁) при 𝔁 = а имеет разрыв, то для выяснения характера разрыва следует найти левый и правый пределы:

1). Если и конечные, то 𝔁 = а – точка разрыва I рода,

2). Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то 𝔁 = а – точка разрыва II рода.

Примеры: 1). y = ;

D(f) = 𝔁 , ⟹ 𝔁 =3 – точка разрыва.

= = , ⟹ 𝔁 =3 – точка разрыва II рода.

Асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при неограниченном удалении ее от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные, наклонные асимптоты.

Вертикальные асимптоты:

График функции

Поиск по сайту: