Пусть функция определена на промежутке . Возьмем произвольную точку . Дадим значению приращение , тогда функция получит приращение .
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.
Производная функции имеет несколько обозначений: , , ,.
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.
Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.
Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.
Если функция дифференцируема на промежутке , то каждому из этого промежутка поставлено в соответствие, кроме значения функции , некоторое число, равное производной функции в этой точке , т.е. на промежутке возникает, кроме , еще одна функция , которая называется производной функцией от данной функции или просто производной от этой функции: .
Из задачи о скорости прямолинейного движения следует механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент : .
Из задачи о касательной к графику функции вытекает геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой в точке , т.е. .
Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент .
Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой
Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:
Записать отношение
;
Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δx;
Найти производную , вычисляя предел дроби. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x = x0.
Пример 1
Используя определение, найти производную функции .
Решение.
По определению производной
Пример 2
Найти производную функции .
Решение.
Применяя определение производной, получаем
Умножим числитель и знаменатель на . Заметим, что
Тогда
Пример 3
Найти производную функции y(x) = sin x.
Решение.
Используя определение производной, получаем
Применим тригонометрическое тождество
Тогда
Первый предел в данном выражении равен
Поскольку , то для производной синуса получаем окончательное выражение: