Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями

Теорема.

1.)Пусть функция – бесконечно малая при и в достаточно малой окрестности точки , тогда бесконечно большая при ;

2.)Пусть – бесконечно большая при , тогда бесконечно малая при .

Доказательство.

(1). – бесконечно малая при ;

выполняется неравенство

;

;

;

выполняется неравенство >

Для функции выполняется определение бесконечно большой функции (по любому находится ) при .

(2). – бесконечно большая при ;

выполняется неравенство

выполняется неравенство

Для функции выполняется определение бесконечно малой функции (по любому находится ) при

Пример:

бесконечно большая при

Предельный переход в неравенстве.

Теорема. Пусть выполняется неравенство , при этом каждая из функций имеет конечный предел:

, , тогда .

Доказательство.

Предположим, что

выполняется неравенство

;

;

выполняется неравенство ;

;

;

;

Пусть

выполняется неравенство ;

Получили противоречие: , а по условию .

Наше предположение неверно, значит .

Примеры:

1.) , +1, ;

2.) , , ,

;

Единственность предела.

Теорема. Если в точке имеет конечный предел , то данный предел является единственным.

Доказательство.

Предполагаем, что есть 2 предела ( );

Пусть

выполняется неравенство ;

;

;

;

выполняется неравенство ;

;

;

;

Пусть ;

выполняется неравенство ;

Получили противоречие: , а по условию значит ;

По теореме о предельном переходе в неравенстве: ;

Односторонние пределы.

Односторонние пределы – это предел “слева” и предел “справа”.

1.)Предел “слева”;

– точка сгущения для ;

;

2.)Предел “справа”.

Функция имеет конечный предел , при , тогда и только тогда, когда она имеет предел “слева” и предел “справа” и они равны

Пример:

1.)

Теорема о промежуточной переменной.

Пусть выполняется неравенство

Пусть , , тогда .

Доказательство.

выполняется неравенство

выполняется неравенство

выполняется неравенство

, определение предела выполнено( выполняется неравенство ) .

1 замечательный предел.

;

;

;

;

;

< x< ; | ∙

;

Найдём предел :

;

По теореме о промежуточной переменной:

а.)

б.)

Неопределённости.

Примеры на раскрытие неопределённостей:

;

Поиск по сайту: