Теоретические сведения. Тема 1. Роль математики в обработке информации
Тема 1. Роль математики в обработке информации
Вопросы для подготовки к занятию
1. Что, с Вашей точки зрения, изучает математика?
2. Можно ли показать число 5? Если да, то проиллюстрируйте, как вы это можете сделать? А число ?
3. Чему Вы научились при изучении математики в школе?
4. Нужна ли математика в повседневной жизни? Приведите пример, когда математика помогла Вам в решении какой-либо проблемы.
5. Нужна ли математика в Вашей будущей профессиональной деятельности? Приведите пример, при решении каких профессиональных задач Вам поможет математика.
Теоретические сведения
Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Говоря о становлении математики как науки, академик А.Н.Колмогоров выделил четыре периода развития математики:
- зарождение математики (до IV вв. до н.э.);
- элементарная математика (от IV-V вв. до н.э. до начала 17 в.);
- математика переменных величин (XVII-XVIII вв.);
- современная математика (XIX-XXI вв.).
Математика одна из древнейших наук, игравшая важнейшую роль в жизни и деятельности человека на всех исторических этапах, так как всегда нужно было что-либо считать и чертить, измерять и вычислять, прогнозировать и проектировать, создавать новое.
Единственная наука, которая задолго до широкого развития математического изучения явлений природы в XVII-XVIII вв. систематически предъявляла математике свои большие требования, была астрономия, благодаря которой развивалась тригонометрия. Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII в., составляет основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе.
Сегодня в математике обычно выделяют следующие области: математический анализ, алгебру, аналитическую геометрию, линейную алгебру и геометрию, дискретную математику и математическую кибернетику, математическую логику, дифференциальные уравнения, дифференциальную геометрию, компьютерную геометрию, топологию, теорию чисел, функциональный анализ и интегральные уравнения, теорию функций комплексного переменного, уравнения с частными производными, уравнения и методы математической физики, теорию вероятностей, актуарную математику, математическую статистику, теорию случайных процессов, вариационное исчисление и методы оптимизации, вычислительную математику и программирование (методы вычислений, то есть численные методы), криптографию, теорию кодирования и теорию искусственного интеллекта.
Такое деление довольно условно, так как многие области математики тесно переплетаются, и новые направления часто возникают на стыке классических. Сегодня можно говорить, что современная математика – это «мета-наука», объединяющая комплекс дисциплин: арифметику – теорию чисел, алгебру, геометрию, математический анализ, теорию множеств, теорию вероятностей, математическую статистику, теорию игр и многие, многие другие (насчитывают несколько десятков крупных направлений). На стыках наук появляются разделы: математическая физика, математическая логика, математическая лингвистика, математическая экономика и др.
Математика – необходимый инструмент познания в любой отрасли человеческой деятельности – характеризуется высокой степенью абстрактности ее понятий и высокой степенью их обобщенности. Абстракция математики достигается использованием специального символьного языка, который, освобождаясь от конкретного содержания, привносит в математику универсальность. Благодаря этому один и тот же математический аппарат можно применять в самых различных естественных и гуманитарных науках.
Так, например, колебания и в механических системах, и в электрических цепях представляются одними и теми же математическими уравнениями. Одинаковые математические подходы используются для описания сердечного кровообращения и управления зенитным огнем. Подобная же картина — при исследовании механизмов разрушения конструкций в технике и процессов образования социальных катастроф.
По меткому выражению известнейшего ученого Нильса Бора: «Математика – это больше, чем наука, это – язык», то есть язык, на котором можно ставить вопросы и отвечать на них принципиально.
Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженерно-технических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности, в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.
Одним из ярких примеров достижений науки, одним из свидетельств неограниченной познаваемости природы было открытие существования планеты Нептун путем математических вычислений – «на кончике пера». Так, сначала учеными Леверье и Адамсом (1845 г.) при помощи расчетов была определена орбита неизвестной планеты, ее масса, место на небе, где она в данное время должна была находиться. И только после этого планета была найдена с помощью телескопа на указанном месте. Аналогичным способом век спустя была открыта еще одна планета – Плутон.
История науки ХIХ-ХХ вв. также дает многочисленные примеры успехов математического прогнозирования. Некоторые из них: Дирак разработал математическую теорию движения электрона и предсказал существование позитрона (1928 г.); несколько позже (1964 г.) физики-экспериментаторы искали частицу, указанную другой математической теорией, и открыли омега-минус-гиперон.
Причина, по которой без математических методов сейчас не обходится не только техника, механика, электроника, экономика, но и медицина, экология, психология, социология, лингвистика, история, юриспруденция и др., проста – для математических методов характерны:
- четкость формулировок и определений;
- использование точных количественных оценок;
- логическая строгость;
- сочетание индуктивного и дедуктивного подходов;
- универсальность.
Математика занимает особое место среди других наук. Математику нельзя причислять к естествознанию (так как исключает наблюдение и эксперимент), хотя и зародилась она из практики как естественная наука.
«Типичным примером полного господства математических методов можно считать небесную механику, в частности, учение о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. При переходе от механики к физике несколько возрастают трудности применения математического аппарата (выбор предпосылок использования математики и трактовка результатов).
В других естественных науках (например, биологических) математические методы играют более подчиненную роль. Если и удается описать течение биологических явлений математическими формулами, то область пригодности этих формул остается весьма ограниченной. А соответствие их реальному ходу явлений грубо приближённым» (Колмогоров А.Н.).
Вся продуктивная деятельность человека так или иначе связана с обработкой информации. Процесс развития общества неотделим от становления все более полных и эффективных методов обработки информации. Каждая область науки и в большой степени различные отрасли деятельности (образование, экономика, экология, добывающие отрасли, транспорт, связь, медицинская диагностика, управление и т. д.) представляют собой совокупность идей и методов, предназначенных для целенаправленной и эффективной обработки той информации, за которую ответственна данная область. Идеи, принципы и алгоритмы, которые в настоящее время составляют методологию обработки информации, уже сегодня позволили сделать существенный прорыв в технологии обработки информации (наглядный пример – Internet).
Методы обработки и принципы их реализации для каждой области имеют свои специфические особенности, которые, прежде всего, обусловливаются конкретным видом носителя информации, методами кодирования и способами представления результатов обработки. Вследствие этого устройства обработки информации для различных областей часто оказываются внешне непохожими друг на друга. Но за этой внешней непохожестью скрывается одинаковая методология и принципы построения систем обработки, что является определяющим и составляет предмет изучения в данном курсе.
Основу методов обработки информации составляют вычислительная математика, теория информации и математическая статистика. Современные методы математической статистики и теории информации используют сложный математический аппарат, но базируются тем не менее на простых исходных положениях, вытекающих из практических задач.