Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Лекция 19

19.1.Предел функции на бесконечности

Определение 19.1.

Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность сходится к А.

.

Определение 19.2.

Число А называется пределом функции f(x) при

если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.

Некоторые свойства функций, имеющих предел

Теорема 19.1 (об ограниченности функций, имеющих предел)

Если , то существует некоторая проколотая окрестность этой точки , в которой функция ограничена.

Доказательство

Пусть .

Теорема 19.2.

Если , то .

Теорема 19.3.

Если в некоторой окрестности точки , то .

Теорема19.4(арифметические операции над функциями, имеющими предел).

Если существуют и то существуют конечные пределы , если , причем , (19.1).

Доказательство

Для любой последовательности формулы (19.1) справедливы, следовательно: .

По определению 18.1 .

Остальные формулы доказываются аналогично.

Следствие.

Если существует , то существует , где .

Теорема 19.5.

Пусть определены в некотором множестве X.

Пусть для любого из некоторого промежутка, содержащего точку выполняются неравенства и имеют одинаковые пределы при тогда функция имеет тот же предел при .

Два замечательных предела

Докажем, что (первый замечательный предел).

Рассмотрим дугу окружности OA=R=1 c центральным углом

Тогда MK=sin x, AN=tg x.

,

,

,

,

.

Так как функции и имеют в точке равный единице предел, то в силу теоремы 19.5:

, т.е. 1 – правый предел.

Так как – четная функция, то .

Пример 19.1

Вычислить .

.

Заметим – второй замечательный предел.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 19.3

– бесконечно малая функция, если .

Свойства бесконечно малых функций

.

. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .

. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

Определение 19.4

– бесконечно большая функция при , если:

.

Замечание 1. Бесконечно большая функция не имеет предела при , но условно говорят: .

Пример 19.2.

.Доказать, что – бесконечно большая функция.

Замечание 2. Выражения вида называются неопределенностью.

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Рассмотрим функции и , заданные в проколотой окрестности точки ( ).

Определение 19.5.

Если , то говорят, что эквивалентна при .

Определение 19.6.

Если и – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при и ,то говорят, что они бесконечно малые (бесконечно большие) функции одного порядка.

Определение 19.7

Если f(x) и g(x) – бесконечно малые (бесконечно большие) функции при и , то говорят, что – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем .

( бесконечно большая функция менее высокого порядка, чем ).

Замечание 3. В случае бесконечно малых функций часто используют символ «о»: .

В примере 19.1.

Теорема 19.6. (замена функций эквивалентными при вычислении пределов)

Пусть при и определена в проколотой окрестности точки а( ). Тогда, если существует и существует , то существуют , и они равны предыдущим.

Доказательство

1). Пусть существует , тогда

.

2) .

Пример 19.3.

Вычислить .

Поиск по сайту: