Так как , то последовательность ограничена, т.е. существует предел последовательности .
Замечание2. В доказательстве использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической последовательности:
Обозначим …
Таким образом .
называют вторым замечательным пределом
Функции одной переменной
Понятие функции
Определение 18.1.
Пусть x и y – некоторые числовые множества. Если каждому элементу множества X единственным образом соответствует элемент множества Y, то это соответствие называется функцией.
Обозначение: .
Здесь y – зависимая переменная, х – независимая переменная (аргумент)
X – обл. определения (существования) функции (D(f));
Y – множество значений функции (E(f)).
Определение 18.2.
Пусть f(x) определена на некотором множестве X.
f(x) ограничена сверху (снизу), если:
.
Условие ограниченности: .
Пример 18.1.
Показать, что – ограниченная функция.
( ).
Способы задания функции
18.2.1. Аналитический
При аналитическом способе задания функция задается с помощью формул:
А) в явном виде
Функция разрешена относительно y: .
Б) в неявном виде
Функция не разрешена относительно y: .
В некоторых случаях от неявно заданной функции можно перейти к явному виду, иногда это сделать невозможно:
Пример 18.2.
.
При аналитическом способе функцию можно задать:
а) несколькими выражениями:
Пример 18.3. Signum (лат.)-знак.
б) параметрически:
Пример 18.4. .(график функции – астроида)
в) в полярной системе координат:
Пример 18.5. – уравнение лемнискаты Бернулли.
18.2.2. Табличный
…
…
(Например, расписание поездов).
18.2.2. Графический
Соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика.
Замечание. Окружность, заданная формулой , не является графиком функции (это график уравнения), однако полуокружности, заданные уравнениями , являются графиками функций.
Классификация элементарных функций
Основные элементарные функции
а) тригонометрические:
;
б) обратные тригонометрическим:
;
в) степенная: ;
г) показательная: ;
д) логарифмическая: .
Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий над элементарными функциями, а также суперпозицией (или наложением) этих функций составляют класс элементарных функций.
Пример 18.6.
Примеры элементарных функций: .
Классификация элементарных функций
. Функция вида , где называется целой рациональной функцией или алгебраическим многочленом степени .
. Функция вида называетсядробно-рациональной.
. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и арифметических действий над степенными функциями, не являющаяся рациональной, называется иррациональной функцией:
,
. Функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентнойфункцией:
.
Предел функции
18.3.1. Предел функции в точке .
Определение 18.3. (на языке последовательностей)
Пусть функция f(x) определена на множестве X. Пусть также заданы: последовательность причем ,
а также соответствующая последовательность причем тогда .
Или: .
Пример 18.7.
Доказать, что функция не имеет предела.
Построим при . Тогда .
Но если построить , при , но
Таким образом, для двух сходящихся последовательностей, соответствующие последовательности значений функции имеют разные пределы.
Определение 18.3 (предела функции в точке на языке эпсилон-дельта ( ))
Число A называется пределом функции f(x) в точке , если:
Замечание 3. Оба определения предела функции эквивалентны.
Геометрический смысл понятия «предел функции»
Пусть М – произвольные точки графика функции .
Точки М графика должны находиться в полосе шириной , ограниченной прямыми , , для всех значений x, удаленных от точки не далее чем на .
Пример 18.8.
.
Односторонние пределы
Определение 18.4.
Если у любой сходящейся к точке последовательности все ее элементы меньше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется левым пределом функции .
Обозначение: .
Определение 18.5.
Если у любой сходящейся к последовательности все ее элементы больше , а соответствующая последовательность сходится к , то число называется правым пределом функцииf(x):
Обозначение: .
Утверждение.
Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют пределы справа и слева и они равны .