Приклади типових завдань, ЩО ВИНОСЯТЬСЯ НА ЕКЗАМЕН
1. Розв’язати задачі лінійного програмування графічним методом:
а) Z = x1 - 2x2 (min) б) Z = x1 + 3x2 (max)
x1 - x2 £ 1, x1 - x2 £ 1,
x1 + x2 ³ 2, 2x1 + x2 £ 2,
x1 - 2x2 £ 0, x1 - x2 ³ 0,
x1³ 0; x2 ³ 0. x1³ 0; x2 ³ 0.
в) Z = 3x1 + 2x2 (min) г) Z = x1 + x2 (max)
3x1 + 2x2 ³ 6, x1 + 2x2 £ 10,
x1 + 4x2 ³ 4, x1 + 2x2 ³ 2,
x1³ 0; x2 ³ 0. 2x1 + x2 £ 10,
x1³ 0; x2 ³ 0.
д) Z = 2x1 + 4x2 (max) є) Z = 2x1 + 4x2 (min)
3x1 + 2x2 £ 11, 3x1 + 2x2 £ 11,
-2x1 + x2 £ 2, -2x1 + x2 £ 2,
-x1 + 3x2 ³ 0, x1 - 3x2 £ 0,
x1³ 0; x2 ³ 0. x1³ 0; x2 ³ 0.
2. На виготовлення двох видів продукції (П1 і П2) витрачаються три види ресурсів Наявність ресурсів дорівнює відповідно: 361, 520, 248. Витрати ресурсів на одиницю продукції П1 становлять відповідно:13, 7, 17; на одиницю продукції П2 - 16, 4, 9. Ціна за одиницю продукції дорівнює відповідно: 11, 8. Побудувати модель лінійного програмування початкової й двоїстої задач. Знайти такий план виробництва, який би забезпечував найбільшу виручку. Дати економічне тлумачення розв’язків задач.
3. Знайти розв’язок наступних задач лінійного програмування шляхом графічного розв’язування двоїстої задачі й застосування теорем двоїстості:
а)
.
б)
.
4. Для плану визначити, чи він є оптимальним для наступних задач (застосовуючи теореми двоїстості й не розв’язуючи задачі симплексним методом):
а)
б)
5. Розв’язати наступну задачу: компанія контролює три фабрики А1, А2, А3, здатні виготовляти 150, 60 та 80 тис.од. продукції щотижня. Компанія уклала договір з чотирма замовниками В1, В2, В3, В4, яким потрібно щотижня відповідно 110, 40, 60 та 80 тис.од. продукції. Вартість виробництва та транспортування 1000 од. продукції замовниками з кожної фабрики наведено в таблиці.
Фабрика
Вартість виробництва і транспортування 1000 од. продукції за замовниками
В1
В2
В3
В4
А1
А2
А3
Визначити для кожної фабрики оптимальний план перевезення продукції до замовників, що мінімізує загальну вартість виробництва і транспортних послуг.
6. Знайти цілочисловий розв’язок задачі лінійного програмування методом Гоморі
7. Розв’язати задачу нелінійного програмування; знайти глобальні екстремуми:
а)
.
б)
,
.
8. Використовуючи метод множників Лагранжа, знайти точки умовного екстремуму наступної задачі нелінійного програмування; визначити характер екстремуму (те ж саме тільки без системи обмежень):
9. До початку планового періоду на підприємстві встановлено нове обладнання. Залежність продуктивності цього обладнання від часу його роботи, а також витрати на утримання і ремонт при різному часі його використання наведено в наступній таблиці:
Характеристика обладнання
Час t, протягом якого використовується обладнання, роки
Річний обсяг виготовлення продукції, тис.грн.
Щорічні витрати на утримання і ремонт обладнання, тис.грн.
Відомо, що витрати, пов’язані з купівлею і встановленням нового обладнання, ідентичного наявному, складають P=24 тис.грн, а обладнання, що підлягає заміні, списується. Визначити план заміни обладнання протягом t років, при якому загальний прибуток за даний період часу буде найбільшим.
10. Знайти оптимальний розподіл 80 млн.грн. між трьома підприємствами у галузі. Прибуток від капіталовкладень певного обсягу в кожне підприємство наведено у наступній таблиці
Вкладені кошти, млн.грн
Приріст випуску продукції, млн.грн
Підприємство 1
Підприємство 2
Підприємство 3
11. Визначити оптимальні стратегії і ціну гри, що задана платіжною матрицею .
12. Впорядкувати структурну таблицю. Представити впорядковану структурну таблицю у вигляді структурно-часової таблиці, в якій роботи розміщуються у відповідності з їх новими номерами. Для останньої таблиці побудувати мережевий графік. Визначити критичний шлях.