Диференціальні рівняння поступального, обертального та плоско паралельного рухів твердого тіла

1. Поступальний рух. При такому русі твердого тіла всі його точки рухаються як центр мас тіла. Тому диференціальні рівняння руху центру мас тіла є диференціальними рівняннями поступального руху твердого тіла:

тут m – маса тіла; x_С, y_С, z_С – координати центру мас тіла; - проекції головного вектору зовнішніх сил на вісі координат.

Вивчення поступального руху твердого тіла, таким чином, зводиться до вивчення руху окремої його точки, яка має масу цього тіла.

2. Обертальний рух твердого тіла. Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі z із кутовою швидкістю ω. Кінетичний момент такого тіла відносно осі z визначається так: .

Теорема про зміну кінетичного моменту матеріальної системи виражається рівнянням: .

Реакції опор тіла (підп’ятника та підшипника) є зовнішніми силами, але при відсутності тертя їх моменти відносно осі обертання дорівнюють нулю. Тому в суму моментів зовнішніх сил відносно осі z входять лише моменти заданих (активних) сил, а також момент сил тертя за наявності таких сил.

Оскільки то

,

і тому диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла приймає вигляд:

.

Якщо порівняти це рівняння із диференціальним рівнянням поступального прямолінійного руху твердого тіла то очевидно, що момент інерції твердого тіла при обертальному русі має таке ж значення, що і маса тіла при поступальному русі. Тобто, момент інерції є характеристикою інертності тіла при його обертальному русі.

3. Плоскопаралельний рух твердого тіла. Розглянемо тверде тіло, яке виконує плоскопаралельний рух. Сумістимо із площиною креслення площину, в якій рухається центр мас тіла, і покажемо плоску фігуру, утворену перерізом тіла цією площиною. В динаміці за полюс приймають не довільну точку тіла, а його центр мас. Тоді рівняння руху плоскої фігури мають вигляд:

Якщо відомі зовнішні сили , які діють на тіло, то два диференціальних рівняння руху плоскої фігури можна записати так:

де m – маса тіла.

Третє диференціальне рівняння руху плоскої фігури одержимо з рівняння

,

де - кінетичний момент тіла відносно осі x₁ у відносному русі тіла по відношенню до центру мас (вісь x₁ проходить через центр мас тіла перпендикулярно до площини креслення); - головний момент зовнішніх сил, прикладених до тіла, відносно тієї ж осі x₁.

Оскільки відносний рух тіла по відношенню до центру мас, тобто по відношенню до рухомої системи осей Сx₁y₁z₁, є обертанням навколо осі x₁, то кінетичний момент визначається так:

.

Тоді

,

.

Таким чином, диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла мають такий вигляд:

.

Поиск по сайту: