 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности
Пример 1. Найти радианную меру угла равного а) 40° , б)120° , в)105° Решение а) 40° = 40·π / 180 = 2π/9 б) 120° = 120·π/180 = 2π/3 в) 105° = 105·π/180 = 7π/12 Пример 2. Найти градусную меру угла выраженного в радианах а) π/6 , б) π/9, в) 2·π/3 Решение а) π/6 = 180°/6 = 30° б) π/9 = 180°/9 = 20° в) 2π/3 = 2·180°/6 = 120° Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса - Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1): sin t = b/c. - Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1): cos t = a/c. Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе. Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).
Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R). Таким образом, наши формулы обретают иной вид. Так как b = y, a = x, c = R, то: y x Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса. Так как tg t = b/a, ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения: tg t = y/x, ctg = x/y. Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается: y
Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул. Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому). Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.
Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:
Уравнения числовой окружности.
Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:
Косинус и синус основных точек числовой окружности:
Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности. Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми. 1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле): 1 √2 √3 Сделайте для себя это «открытие» - и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять. 2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат. Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0. На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0. На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0. Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса 7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1. 3) Теперь перейдем к дробным значениям. - Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе. - В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса. - Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2). - Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2). Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так). Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус. Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы. Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса. - Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3: cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2 Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки. Важно знать: Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» - впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше). В порядке убывания получается такое чередование значений: √3 √2 1 1 √2 √3 Возрастают они строго в обратном порядке. Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.
Поиск по сайту: |
