Решение логических задач

1. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, – правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ)

Решение:

1) во-первых, есть «точная» информация, которая не подвергается сомнению:

(*) все трое прогуляли урок астрономии в первый раз

2) запишем высказывания мальчиков:

Коля:1. Я всегда прогуливаю астрономию.

2. Саша врет.

Саша:1. Я в первый раз прогулял астрономию.

Миша:1. Коля говорит правду.

3) известно, что один из них все время лжет, второй ­– говорит правду, а третий говорит правду через раз (то есть, из двух его высказываний одно истинно, а второе – ложно; если у нас есть только одно высказывание «полу-лжеца», оно может быть как истинным, так и ложным)

4) сопоставив первое высказывание Коли и высказывание Саши с «точной» информацией (*), сразу определяем, то тут Коля соврал, а Саша сказал правду; это значит, что второе высказывание Коли – тоже неверно, поэтому мальчик Коля всегда лжет

5) тогда один из оставшихся, Саша или Миша, говорит правду всегда, а второй – через раз

6) Мишино высказывание неверно, поскольку мы уже определили, что Коля лжет; это значит, что Миша не всегда говорит правду, он – «полу-лжец»

7) тогда получается, что Саша всегда правдив, и действительно, его высказывание верно

8) таким образом, верный ответ – СКМ (Саша – правдив, Коля – лжец, Миша – «полу-лжец» ).

2. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Встретив однажды всех троих в коридоре, директор решил поговорить с мальчиками. Коля сказал: «Саша всегда лжет». Саша сказал: «Коля прав». Директору стало все понятно. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». Например: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ.

Решение:

1) в отличие от предыдущей задачи, здесь нет точной информации

2) у нас всего два высказывания мальчиков:

Коля:Саша всегда лжет

Саша:Коля прав

3) в отличие от предыдущей задачи, второе высказывание связано с первым: Сашино утверждение относится к данному конкретному высказыванию Коли, а не к честности Коли вообще

4) в такой ситуации нужно предположить, что истинно одно из высказываний и проверить, не приводит ли это к противоречию

5) предположим, что Коля сказал правду; тогда получается, что Саша (который всегда лжет) солгал и на этот раз; однако если Саша солгал, то получается, что Коля сказал неправду, то есть, мы пришли к противоречию, и Коля в самом деле солгал

6) если Коля солгал, то получается, что Саша тоже солгал, то есть, оба мальчика сказали неправду; отсюда следует, что один из них – лжец, а второй «полу-лжец», тогда как Миша (ничего не сказавший) говорит всегда правду

7) остается определить, кто из двоих (Коля или Саша) лжец, а кто – «полу-лжец»

8) с первого взгляда кажется, что это невозможно сделать, но ложные утверждения двух мальчиков разные: Коля говорит (неправду) о том, что Саша всегда лжет, а Саша говорит только о последнем (предыдущем) утверждении Коли; на этой разнице и основано решение

9) мы уже выяснили, что Коля солгал, то есть неверно, что Саша всегда лжет, поэтому Саша правдив или «полу-лжец»; поскольку правдив Миша, то получается, что Саша – «полу-лжец», а Коля – лжец

10) таким образом, верный ответ – МКС (Миша – правдив, Коля – лжец, Саша – «полу-лжец»).

3. Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

А) Макс победит, Билл – второй;

В) Билл – третий, Ник – первый;

С) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.)

Решение:

1) запишем высказывания трех болельщиков в форме таблицы (заголовок строки обозначает место в турнирной таблице):

2) считая, что два человека не могут оказаться на одном месте, начнем «раскручивать» эту таблицу с той строчки, где больше всего информации (в данном случае – с первой)

3) предположим, что Макс действительно занял первое место, как и сказал «A»; в этом случае

· «C» ошибся, поставив на первое место Джона;

· учитывая, что каждый один раз угадал, а второй ошибся, получается, что «C» угадал, что Макс будет на четвертом месте;

· но мы предположили, что Макс – на первом месте (а не на четвертом), следовательно, получили противоречие; это значит, что Макс все-таки не на первом месте

· таким образом, в первом прогнозе «А» ошибся, это значит, что во втором он угадал, и Билл действительно занял второе место:

· так как Билл – второй, он не может быть на третьем месте, поэтому из прогноза «Б» следует, что Ник – первый:

· если Ник на первом месте, там не может быть Джон, поэтому из ответов «С» (среди которых должен быть один верный, и один неверный), сразу находим, что Макс занял четвертое место:

4) осталось только определиться с Джоном – ему досталось единственное «свободное» третье место; окончательный список победителей:

1. Ник 2. Билл 3. Джон 4. Макс

5) места победителей в порядке их перечисления в тексте вопроса: Джон – 3 , Ник – 1,
Билл – 2, Макс - 4

6) таким образом, правильный ответ 3124.

4. Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

– Кто это сделал? – спросила мама.

– Коля не бил по мячу, – сказал Саша. – Это сделал Ваня.

Ваня ответил: – Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.

– Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете, рассердилась мама. Ну, а ты что скажешь? – спросила она Колю.

– Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, – сказал Коля.

Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду. Кто разбил вазу?

Решение:

1) запишем высказывания трех мальчиков в краткой форме:

Саша: 1. Коля не разбивал = не К 2. Ваня разбил = В

Ваня: 1. Коля разбил = К 2. Саша не разбивал = не С

Коля: 1. Ваня не разбивал = не В

2) оформим эти данные в виде таблицы, где в столбцах записаны высказывания мальчиков, а в строках будем отмечать их истинность (единицей) или ложность (нулем):

3) предположим, что вазу разбил Коля, тогда получается, что Саша два раза соврал, а Ваня и Коля сказали правду:

4) в принципе, на этом можно остановиться, потому что мы нашли вариант, удовлетворяющий условию задачи

5) на всякий случай проверим другие варианты: если вазу разбил Ваня, то Ваня и Коля соврали по одному разу (это противоречит условию); если вазу разбил Саша, то Саша соврал один раз, а Ваня – два (также не подходит):

6) таким образом, вазу разбил Коля

5. На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живет по одному человеку. Их зовут Василий, Семен, Геннадий и Иван. Известно, что все они имеют разные профессии: скрипач, столяр, охотник и врач. Известно, что

(1) Столяр живет правее охотника.

(2) Врач живет левее охотника.

(3) Скрипач живет с краю.

(4) Скрипач живет рядом с врачом.

(5) Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом.

(6) Иван живет рядом с охотником.

(7) Василий живет правее врача.

(8) Василий живет через дом от Ивана.

Определите, кто где живет, и запишите начальные буквы имен жильцов всех домов слева направо. Например, если бы в домах жили (слева направо) Кирилл, Олег, Мефодий и Пафнутий, ответ был бы КОМП.

Эта задача представляет собой упрощенный вариант Задачи Эйнштейна[1].

Решение:

1) из условий (1) и (2) следует, что охотник живет не с краю, потому что справа от него живет столяр, а слева – врач;

2) скрипач по условию (3) живет с краю, он может жить как слева, так и справа от них:

3) по условию (4) скрипач живет рядом с врачом, поэтому он занимает крайний дом слева:

4) профессии жильцов определили, остается разобраться с именами

5) из условия (5) «Семен не скрипач и не живет рядом со скрипачом» следует, что Семен – охотник или столяр:

6) из условия (6) «Иван живет рядом с охотником» следует, что он – врач или столяр:

7) из условия (7) «Василий живет правее врача» определяем, что Василий – охотник или столяр

8) из условия (8) «Василий живет через дом от Ивана» находим, что Иван – врач, а Василий –столяр:

9) тогда сразу получается, что Семен – охотник, а Геннадий должен занять оставшееся свободное место, он ­– скрипач:

10) таким образом, ответ ГИСВ

6. В состав экспедиции входят Ренат, Сергей и Виктор. На обсуждении распределения обязанностей с руководителем проекта были высказаны предположения, что командиром будет назначен Ренат, Сергей не будет механиком, а Виктор будет утвержден радистом, но командиром не будет.

Позже выяснилось, что только одно из этих четырех утверждений оказалось верным. Перечислите, кто занял должности командира, механика и радиста, записав первые буквы имен членов экипажа в указанном порядке.

Решение:

1) будем использовать первые буквы названий должностей: К – командир, М – механик, Р – радист

2) запишем высказывания в виде таблицы:

3) сразу заметим, что высказывание 3 (Виктор – радист) неверно, потому что иначе оказывается верным и высказывание 4, чего не может быть по условию (верно только одно высказывание)

4) если Ренат – командир (высказывание 1 верно), то остальные высказывания – неверны; поэтому Сергей – механик (из 2) и Виктор – не радист (из 3), а командир; но тогда получается, что некому быть радистом и в экипаже 2 командира; значит, это предположение неверно

5) теперь предположим, что Сергей – не механик; отсюда следует, что Ренат – не командир (из 1), а Виктор – командир (из 4) и не радист (из 3); это может быть, если Ренат – механик, а Сергей – радист; скорее всего, мы получили правильный ответ ВРС (Виктор – командир, Ренат – механик, Сергей – радист)

6) на всякий случай проверим последний вариант – предположим, что Виктор – не командир (высказывание 4 истинно, а остальные – ложны); сразу получаем, что Виктор – не радист (из 3), Сергей – механик (из 2), а Ренат – не командир (из 1); в этом случае два претендента на должность механика (Сергей и Виктор), а командира нет вообще, поэтому это неверный вариант

7) таким образом, правильный ответ – ВРС

7. Восемь школьников оставались в классе на перемене, и один из них разбил окно. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы:

Егор: «Разбил Андрей»!

Света: «Вика разбила»!

Оля: «Разбила Света».

Миша: «Это кто-то с улицы»!

Надя: «Да, Оля права».

Коля: «Это либо Вика, либо Света»!

Андрей: «Ни Вика, ни Света этого не делали»!

Вика: «Андрей не бил»!

Кто разбил окно, если известно, что из этих высказываний истинно ровно три. Ответ запишите в виде первой буквы имени.

Решение:

1) заметим, что по условию высказывание Миши («Это кто-то с улицы») заведомо ложно, поскольку окно разбил кто-то из перечисленных детей, поэтому его можно вообще не учитывать

2) проще всего решить эту задачу с помощью таблицы; в первом столбце запишем все высказывания, а в остальных будем отмечать, истинно высказывание или ложно (1 или 0), если окно разбил ученик, имя которого записано в заголовке столбца

3) например, если предположить что окно разбил Егор, получается так:

видим, что истинны только два высказывания, а не три (как нужно по условию); следовательно, это не Егор

4) строим таблицу для случаев, предполагая, что окно разбила Света, затем – Оля и т.д.:

5) только в последнем столбце ровно три единицы (три высказывания истинны), поэтому окно разбила Вика

6) таким образом, ответ – В.

8. В бюро переводов приняли на работу троих сотрудников: Диму, Сашу и Юру. Каждый из них знает ровно два иностранных языка из следующего набора: немецкий, японский, шведский, японский, китайский, французский и греческий. Известно, что

(1) Ни Дима, ни Юра не знают японского

(2) Переводчик со шведского старше переводчика с немецкого

(3) Переводчик с китайского, переводчик с французского и Саша родом из одного города

(4) Переводчик с греческого, переводчик с немецкого и Юра учились втроем в одном
институте

(5) Дима – самый молодой из всех троих, и он не знает греческого

(6) Юра знает два европейских языка

В ответе запишите первую букву имени переводчика со шведского языка и, через запятую, первую букву имени переводчика с китайского языка.

Решение:

1) составим таблицу, где каждая строка соответствует переводчику, а столбец – языку

2) знание языка будем отмечать в таблице единицей, а незнание – нулем

3) по условию каждый переводчик знает ровно 2 языка, поэтому в каждой строке должно быть две единицы;

4) также по условию каждый язык знает только один переводчик, поэтому в каждом столбце должна быть только одна единица

5) из (1) следует, что японский знает Саша

6) из (2) и (5) следует, что Дима не знает ни шведского, ни греческого:

7) из (3) следует, что Саша не знает ни китайского, ни французского:

8) из (4) следует, что Юра не знает ни греческого, ни немецкого; отсюда сразу следует, что греческий знает Саша; поскольку он знает всего два языка, немецкий и шведский он не знает:

9) далее сразу получаем, что Дима знает немецкий, а Юра – шведский:

10) из (6) находим, что второй (европейский!) язык Юры – французский; тогда Диме остается китайский:

11) таким образом, ответ Ю,Д

9. На кольцевой трассе автогонок расположены 4 препятствия («болото», «трамплин», «крутой поворот», «скользкая дорога»). В судейском протоколе 4 этапа обозначены буквами А, Б, В, Г. Известно, что этап Б расположен между этапом А и «крутым поворотом». Этап В – это не «крутой поворот» и не «скользкая дорога». Он расположен между этапами «трамплин» и Г. Установите соответствие между этапами.

В ответ запишите, какими буквами в судейском протоколе обозначены соответственно этапы «болото», «трамплин», «крутой поворот», «скользкая дорога». (Например, если этап «болото» обозначен буквой А, этап «трамплин» – буквой Б, этап «крутой поворот» – В, а этап «скользкая дорога» – Г, то в ответ нужно записать АБВГ)

Решение:

1) обратим внимание, что трасса кольцевая, это будет важно!

2) выделим явно полезную информацию в виде высказываний:

(1)этап Б расположен между этапом А и «крутым поворотом»

(2) этап В – это не «крутой поворот» и не «скользкая дорога»

(3) этап В расположен между этапами «трамплин» и Г

3) составим таблицу, где каждая строка соответствует букве-обозначению, а столбец – препятствию

4) из (1) следует, что «крутой поворот» – это не А и не Б

5) из (2) следует, что «крутой поворот» и «скользкая дорога» – это не В, поэтому «крутой поворот обозначается буквой Г:

6) из (3) следует, что В – это не трамплин, отсюда сразу получаем, что В – болото:

7) осталось неясно, где трамплин, а где скользкая дорога; для этого нужно использовать информацию о том, какие этапы где расположены (между чем и чем);

8) из (1) следует, что этап Б расположен между А и Г, поэтому схема должна быть такой (или зеркально симметричной, но это не меняет дела):

9) из (3) следует, что этап В расположен между этапами «трамплин» и Г, поэтому (с учетом кольца!) этап А – это трамплин, тогда получается, что Б – это скользкая дорога:

10) таким образом, ответ – ВАГБ.

10. Андрей (А), Федор (Ф), Валерий (В) и Григорий (Г) сопровождали своих сестер на бал. Заключительный танец каждая из девушек танцевала не со своим братом.

Образовались следующие пары: Лена (1) с Андреем, Анна (2) с братом Кати (3), Тома (4) с братом Анны, Федор с сестрой Валерия, а Валерий с сестрой Андрея. Определите, кому приходится сестрой каждая из девочек? Выпишите пары: брат-сестра, проставив первую букву имени мальчика и соответствующий номер девушки. Например, ответ мог бы выглядеть так: А1, Г2 и т. д.

Решение:

1) для каждого из молодых людей нужно определить 1) с кем он танцевал, и 2) кому он приходится братом или сестрой;

2) построим таблицу, в левой части которой будем отмечать, кто с кем танцевал (единицей или нулем), а в правой части – кто чей родственник:

Важно, что и в левой, и в правой таблицах в каждой строке и в каждой строчке должна быть только одна единица, а остальные нуль (каждый танцевал с одним партнером, у каждой девушки один брат). Здесь уже отмечено, что Лена танцевала с Андреем (и ни с кем другим!), и она по условию не может быть сестрой Андрея. Андрей также не мог танцевать с кем-то другим.

3) так как Анна танцевала с братом Кати, а Тома – с братом Анны, получаем, что Андрей не является братом ни Кате, ни Анне, поэтому он брат Томы:

4) Валерий танцевал с сестрой Андрея, то есть с Томой:

5) С другой стороны, Тома танцевала с братом Анна, поэтому Валерий – брат Анны:

6) Федор танцевал с сестрой Валерий, то есть с Анной, поэтому Григорию выпало танцевать с Катей:

7) Катя не может быть сестрой Григория, потому что она с ним танцевала, значит, она сестра Федора, тогда Лена – сестра Григория:

8) таким образом, правильный ответ: А4, Ф3, В2, Г1.

[1] http://ru.wikipedia.org/wiki/Загадка_Эйнштейна

Поиск по сайту: