Перевірка гіпотези про нормальний розподіл

Варіант №13

За даними спостережних значень за допомогою таблиці випадкових чисел виконати вибірку об'єму n, провести групування статистичних даних, записати відповідний ряд розподілу, побудувати полігон і гістограму, знайти числові характеристики вибірки випадкової величини Х, провести їх статистичні точкові та інтервальні оцінки при даній надійності і перевірити за допомогою критерію Пірсона гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини Х, при рівні значущості (n = 50; = 0,95;

= 0,05).

Таблиця випадкових чисел. Варіант №13.

Дані спостережень за величиною Х.

Розв’язання

За допомогою таблиці випадкових чисел робимо простий випадковий відбір 50 різних значень величини Х. Для цього спочатку використовуємо лише перші дві цифри кожного чотиризначного випадкового числа таблиці, стежачи, щоб одержані двозначні числа не повторювались, а потім при необхідності переходимо знову на початок таблиці і використовуємо дві останні цифри. Відібрані значення заносимо в таблицю.

Знаходимо найбільше і найменше значення варіант:

x_max = 17,5; x_min = 6,3.

Число інтервалів k знаходиться за емпіричною формулою:

k ≥ 1 + 3,22 lg n , де n — об'єм вибірки.

k ≥ 1 + 3,22 lg50 ≈ 6,47. Приймаємо k = 7.

Довжина інтервалу h визначається за формулою:

h ≈ = ≈ 1,87

Приймаємо h = 2.

Початок першого інтервалу: a₁ ≈ x _min − = 6,3 − 1 = 5,3.

Кінець першого інтервалу: b₁ = a₁ + h = 5,3 + 2 = 7,3.

Для наступних інтервалів:

а _{i + 1} = a_i + h = a₁ + i⋅h;

b _{i + 1} = a _{i + 1} + h, (i=1, ... , k−1)

Визначаємо всі інтервали і проводимо групування даних спостережень.

Підраховуємо кількість значень випадкової величини, що потрапила в кожний інтервал. Перевіряємо, чи x_min = 6,3 та x_max = 17,5 потрапили відповідно в перший і останній інтервали. Умова виконана.

Знаходимо середини інтервалів x_i = (a_i + b_i ) / 2 і складаємо відповідну таблицю, яка включає в себе емпіричний ряд розподілу:

Останнє значення повинно дорівнювати об'єму вибірки, тобто 50,
що виконано.

Графічне зображення статистичного ряду виконується з допомогою полігону і гістограми.

Полігон

Гістограма

Знаходимо числові характеристики вибірки.

Вибіркова середня:

= (2^. 6,0 + 5 ^. 8,0 + 10 ^. 10,0 + 17 ^. 12,0 +8 ^. 14,0 + 5 ^. 16,0+3 ^. 18,0) =12,04

Вибіркова дисперсія:

D _в = (2^. 6,0² + 5 ^. 8,0² + 10 ^. 10,0² + 17 ^. 12,0² +8 ^. 14,0² + 5 ^. 16,0²+3 ^. 18,0²) − (12,04) ² = 8,24

Вибіркове середнє квадратичне відхилення:

σ _в = _в = ≈ 2,87.

Точкові оцінки:

Генеральне середнє: 12,04.

Незміщеною оцінкою генеральної дисперсії є виправлена вибіркова дисперсія:

s² = _в = ≈ 8,41.

Для оцінки середнього квадратичного відхилення використовується виправлена дисперсія:

s = ² = ≈ 2,9.

Інтервальні оцінки:

Інтервал називається інтервалом надійності. Рівнем значущості такого інтервалу називають число

Надійний інтервал для генерального середнього:

де s — виправлене середнє квадратичне відхилення; t _ᵞ по

надійностві = 0,95; об'єму вибірки n = 50; t _ᵞ = 2,009 (знаходиться за допомогою спеціальної таблиці).

12,04 − < a < 12,04 + ;

11,22 < a < 12,86.

Для оцінки середнього квадратичного відхилення σ нормально розподільної величини з надійністю по виправленому вибірковому середньому квадратичному відхиленні s використовується надійний інтервал:

м

при q >1, де q знаходиться по таблиці згідно n = 50 і = 0,95, q = 0,21.

2,9 · (1 − 0,21) < σ < 2,9 · (1 + 0,21);

2,29 < σ < 3,51.

Перевірка гіпотези про нормальний розподіл

Число степенів свободи f = k − 3 = 7 − 3 = 4.

Знаходимо для кожного інтервалу теоретичні частоти n_i ' :

n ₁ ʹ = 50 · ( Ф ( ) − Ф ( )) =
50 ·(Ф (− 1,76) − Ф (− 2,45)) = 50 · (− Ф(1,76) + Ф(2,45)) = 50 · (− 0,4608+ 0,4929) =1,61 ;

n ₂ ʹ = 50 · ( Ф ( ) − Ф ( )) =
50 ·(Ф (− 1,06) − Ф (− 1,76)) = 50 · (− Ф(1,06) + Ф(1,76)) = 50 · (− 0,3554 + 0,4608) =5,27;

n ₃ ʹ = 50 · ( Ф ( ) − Ф ( )) =
50 ·(Ф (− 0,36) − Ф (− 1,06)) = 50 · (− Ф(0,36) + Ф(1,06)) = 50 · (− 0,1406+ 0,3554) =10,74 ;

n ₄ ʹ = 50 · ( Ф ( ) − Ф ( )) =
50 ·(Ф ( 0,33 ) − Ф (− 0,36 )) = 50 · ( Ф (0,33) + Ф (0,36)) = 50 · (0,1293 + 0,1406) =13,5 ;

n ₅ ʹ = 50 · ( Ф ( ) − Ф ( )) =
50 ·(Ф (1,03) − Ф (0,33)) = 50 · (0,3485− 0,1293) =10.96 ;

n ₆ ʹ = 50 · ( Ф ( ) − Ф ( )) =
50 ·(Ф (1,73) − Ф (1,03)) = 50 · (0,4582− 0,3485) =5,49 .

n ₇ ʹ = 50 · ( Ф ( ) − Ф ( )) =
50 ·(Ф (2,43) − Ф (1,73)) = 50 · (0,4925− 0,4582) =1,72 .

Результати обчислень заносимо в таблицю:

№ п/п
n і
n і ʹ	1,61	5,27	10,74	13,5	10,96	5,49	1,72
	0,094	0,014	0,051	0,907	0,799	0,044	0,953

На координатній площині з графіком полігону наносимо точки ( x_i; n_i' ), (i=1,...7) і будуємо криву Гауса.

2,86.

По таблиці критичних значень при числі степенів свободи f = 4 і заданому в завданні рівні значущості = 0,05 знаходимо χ²_кр = 9,5.

Так як χ²_сп < χ²_кр , то дані спостережень не суперечать гіпотезі про нормальний розподіл величини Х.

Поиск по сайту: