Решение систем линейных уравнений. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Решение уравнений и систем уравнений в Matlab.

1. Решение уравнений вида

Для простоты будем рассматривать случай, когда - полином, т. е. имеет вид . Тогда, согласно следствию из основной теоремы алгебры, уравнение имеет ровно в общем случае комплексных корней.

Для нахождения корней многочлена в Matlab используется функция roots. Полином задаётся в виде вектора коэффициентов при степенях , т. е. имеет вид .

Решение систем линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений в самом общем случае имеет вид:

Для вычислений в Matlab удобно представлять такую систему в виде матрицы коэффициентов и вектора свободных членов :

Тогда систему (1) можно записать в виде:

где – вектор-столбец неизвестных.

Способ 1. Метод обратной матрицы.

Если , то тогда система (1) имеет единственное решение, которое выражается как

Таким образом, нам необходимо посчитать обратную матрицу для матрицы коэффициентов и перемножить её со столбцом свободных членов.

Пример 2. Решение системы методом обратной матрицы

A=[1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

b=[2; -1; -2];

x=inv(A)*b % Решение системы x=A-1b

Способ 2. Метод Крамера.

Суть метода Крамера состоит в следующем. Если для представления системы уравнений (1.1) соблюдается условие , то система имеет единственное решение следующего вида:

и т. д., где

т. е. определитель матрицы А (1.1), в которой столбец заменён столбцом свободных членов .

Пример 3. Решение системы методом Крамера

A = [1 2 3 4; -1 2 -3 4; 0 1 -1 1; 1 1 1 1];

b = [30;10;3;10];

% Проверим невырожденность системы

rank(A)

>> ans = 4

% По правилу Крамера по очереди заменяем столбцы исходной матрицы

% столбцом свободных членов. Для этого создаём 4 копии матрицы – по

% числу столбцов

A1 = A;

A2 = A;

A3 = A;

A4 = A;

A1(:,1) = b;

A2(:,2) = b;

A3(:,3) = b;

A4(:,4) = b;

% вычисляем определители

x1 = det(A1) / det(A);

x2 = det(A2) / det(A);

x3 = det(A3) / det(A);

x4 = det(A4) / det(A);

x=[x1;x2;x3;x4];

% Проверим решение

A*x - b>>

ans = 0

Способ 3. Метод Гаусса.

Метод Гаусса предполагает проведение преобразований с так называемой расширенной матрицей системы уравнений, т. е. с матрицей вида с целью приведения её к виду . Последний столбец будет содержать значения неизвестных. Система будет иметь единственное решение, когда

В Matlab для решения систем уравнений методом Гаусса используется встроенная функция rref.

Пример 4. Решение системы уравнений методом Гаусса

A = [1 2 3; 1 -3 2; 1 1 1];

b = [7;5;3];

% Формируем расширенную матрицу системы

C = [A b];

% Приведём её к ступенчатому виду, выполнив прямой и обратный ход

% метода Гаусса

D = rref(C)>>

D = 1 0 0 1

0 1 0 0

0 0 1 2

% Последний столбец матрицы есть решение

x = D(:,4);

% Проверим его

A*x - b>>

ans = 0

Поиск по сайту: