Завдання 4. Формула повної ймовірності. Формули Байєса

1. В урні знаходиться одна куля, про яку відомо, що вона або біла, або чорна. В урну поклали білу кулю, а потім після ретельного перемішування взяли навмання одну кулю, яка виявилась білою. Яка ймовірність того, що після цього з урни візьмуть білу кулю?

2. Деталі виготовляються на двох заводах. Об’єм продукції другого заводу в 3 рази перевищує об’єм продукції першого заводу. Доля браку на першому заводі — , на другому — . Навмання взята деталь виявилась бракованою. Яка ймовірність того, що вона випущена на другому заводі?

3. Кожна з 4 урн містить 4 білі і 3 чорні кулі. З першої урни взяли одну кулю і переклали в другу, з другої урни взяли одну кулю і переклали в третю, і т.д. Обчислити, яка ймовірність взяття білої кулі з останньої урни.

4. Три мисливці одночасно зробили по одному пострілу у ведмедя. Ведмедя вбито однією кулею. Яка ймовірність того, що ведмедя вбито першим, другим або третім мисливцем, якщо ймовірність влучення для них відповідно

5. В першій урні знаходиться 5 куль, з яких 3 кулі білі. В другій урні є 7 куль, з яких 5 білих. З першої урни переклали в другу урну одну кулю, колір якої не відомий. Після цього з другої урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла?

6. Радіолокаційна станція веде спостереження за об’єктом, який може створювати перешкоди. Якщо об’єкт не створює перешкоди, то за один цикл огляду станція виявляє його з ймовірністю , якщо створює — з ймовірністю . Ймовірність того, що під час циклу огляду будуть створюватись перешкоди, дорівнює 0,25 і не залежить від того, як і коли створювались перешкоди в інших циклах. Знайти ймовірність виявлення об’єкту принаймні один раз за 10 циклів огляду.

7. Прилад складається з 5 блоків, які дублюють один одного, і може працювати в одному з двох режимів — сприятливому і несприятливому. В сприятливому режимі надійність роботи кожного блоку рівна , а в несприятливому — . Ймовірність того, що прилад працюватиме в сприятливому режимі — 0,8, в несприятливому — 0,1. Обчислити надійність приладу.

8. В урні 4 кулі. Усі можливі припущення про кількість білих куль в урні рівно можлива. Навмання з урни беруть одну кулю. Яка ймовірність того, що куля буде білою?

9. В урну, яка містить 3 кулі, поклали білу кулю. Яка ймовірність того, що взята навмання з урни куля буде білою, якщо всі припущення про початковий вміст урни рівноможливі?

10. З урни, яка містить 4 кулі невідомого кольору, взяли навмання кулю, яка виявилась білою. Після цього знову вийняли кулю. Яка ймовірність того, що ця куля біла? (Всі припущення про початковий вміст урни однаково можливі).

11. Стрілець А влучає в мішень з ймовірністю , стрілець В — з ймовірністю , а стрілець С — з ймовірністю . Стрільці зробили залп по мішені. Відомо, що є два влучення. Що ймовірніше: попав С в мішень чи ні?

12. На вхід радіолокаційного пристрою надходять з ймовірністю 0,8 сигнали з шумом і з ймовірністю 0,2 — тільки шум. Якщо надходить сигнал з шумом, то пристрій реєструє наявність сигналу з ймовірністю , якщо надходить тільки шум, то пристрій реєструє наявність сигналу з ймовірністю . Відомо, що пристрій зареєстрував сигнал. Яка ймовірність того, що надійшов сигнал?

13. На фабриці, що виготовляє гвинти, перша машина продукує 25%, друга — 35%, третя — 40% всіх виробів. Брак в їх продукції складає відповідно 5%, 4% і 2%. Яка ймовірність того, що навмання вибраний гвинт виявиться дефектним?

14. З урни, яка містить 3 білі і 4 чорні кулі, загублено одну кулю. Яка ймовірність взяти навмання з урни білу кулю?

15. Три партії персональних комп’ютерів, що виготовлені різними заводами, нараховують відповідно 20, 30 і 50 штук. Ймовірність того, що комп’ютери працюватимуть без ремонту заданий час для цих партій відповідно дорівнюють 0,7; 0,8 і 0,9. Яка ймовірність того, що вибраний навмання комп’ютер пропрацює без ремонту заданий час?

16. В сітці лежать 20 футбольних м’ячів, серед яких 12 нових і 8 граних. З цієї сітки навмання вибирають два м’ячі і після гри повертають їх в сітку. Після цього з сітки знов виймають два м’ячі для наступної гри. Знайти ймовірність того, що обидва ці м’ячі будуть новими?

17. Проводяться 5 пострілів запалювальними снарядами по резервуару з пальним. Кожен снаряд попадає в резервуар з ймовірністю 0,6. Якщо в резервуар попав один снаряд, то паливо займеться з ймовірністю 0,5, якщо два, то з повною достовірністю. Знайти ймовірність того, що при 5 пострілах паливо займеться.

18. На фабриці, що виготовляє гвинти, перша машина продукує 25%, друга — 35%, третя — 40% всіх виробів. Брак в їх продукції складає відповідно 5%, 4% і 2%. Яка ймовірність того, що навмання вибраний гвинт вироблений першою, другою і третьою машинами відповідно, якщо він виявиться дефектним?

19. Три стрільці роблять по одному пострілу в одну і ту ж мішень. Ймовірність влучення в мішень для першого, другого і третього стільця при одному пострілі відповідно дорівнюють , , . Яка ймовірність того, що другий стрілець промахнувся, якщо відомо, що є два влучення?

20. Кожна з 3-ох урн містить 4 білі і 3 чорні кулі, а кожна з 5-ти урн містить 2 білі і 4 чорні кулі. З навмання взятої урни вийняли кулю, яка виявилась чорною. Яка ймовірність того, що кулю взято з першої групи урн?

21. На шахівницю навмання поставлено два офіцери — білий і чорний. Яка ймовірність того, що вони не битимуть один одного?

22. Нехай в урні є дві монети: симетрична монета з ймовірністю «появи герба» рівною і несиметрична монета з ймовірністю «появи герба» рівною . Навмання виймають і підкидають одну з монет. Припустимо, що випав герб. Яка ймовірність того, що вибрана монета симетрична?

23. З урни, яка містить 3 білі і 2 чорні кулі, перекладають дві кулі до урни, яка містить 4 білі та 4 чорні кулі. Яка ймовірність взяття білої кулі з другої урни після такого перекладання?

24. Завод випускає за три декади місяця відповідно 20%, 30% і 50% запланованої продукції, причому ймовірність браку дорівнює відповідно 0,01; 0,012 і 0,015. Знайти ймовірність того, що виріб випущено в першій декаді, якщо виявилося, що він має дефект?

25. В двох ящиках знаходяться радіолампи. В першому є 12 ламп, з яких одна нестандартна, в другому — 10 ламп, з яких дві нестандартні. З першого ящика в другий перекладають одну лампу. Після цього з другого ящика довільним чином витягують одну лампу. Знайти ймовірність того, що лампа, яку витягнули з другого ящика буде нестандартною?

Завдання 5.Знайти функцію розподілу, математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення випадкової величини , , де . Побудувати графік функції розподілу випадкової величини , яка задана законом розподілу:

Варіант 1

	-2
	0,1	0,2	0,4	0,3

Варіант 2

	-1
	0,2	0,2	0,5	0,1

Варіант 3

	0,3	0,3	0,2	0,1	0,1

Варіант 4

	0,1	0,1	0,3	0,4	0,1

Варіант 5

	0,1	0,1	0,5	0,3

Варіант 6

	0,3	0,3	0,2	0,2

Варіант 7

	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Варіант 8

	-1
	0,1	0,2	0,1	0,3	0,3

Варіант 9

	0,2	0,2	0,4	0,2

Варіант 10

	-3
	0,1	0,3	0,3	0,3

Варіант 11

	-2	-1
	0,2	0,2	0,2	0,4

Варіант 12

	0,3	0,2	0,1	0,2	0,2

Варіант 13

	-1
	0,1	0,1	0,2	0,3	0,3

Варіант 14

	-3

Варіант 15

Варіант 16

	-1
	0,2	0,2	0,1	0,1	0,4

Варіант 17

	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2

Варіант 18

	-1

Варіант 19

	0,1	0,3	0,4	0,2

Варіант 20

	-3	-1

Варіант 21

Варіант 22

	-2	-1
	0,1	0,1	0,6	0,1	0,1

Варіант 23

	-1

Варіант 24

Варіант 25

	-2	-1

Завдання 6. Нехай – функція щільності розподілу випадкової величини . Обчислити: число А, функцію розподілу, математичне сподівання і дисперсію випадкової величини , , де .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Завдання 7

Знайти:

· невідому константу , розподіли компонент, математичне сподівання і коваріаційну матрицю випадкового вектора ;

· умовний розподіл компоненти за умови, що , умовний розподіл компоненти за умови, що , умовне математичне сподівання компоненти за умови, що , умовне математичне сподівання компоненти за умови, що , якщо набуває значень ;

· перевірити, чи компоненти вектора є незалежними;

· обчислити розподіл суми (для варіантів №1-6), різниці (для варіантів №7-12), добутку (для варіантів №13-18), частки (для варіантів №19-25) випадкових величин та .

Розподіл ймовірностей випадкового вектора має такий вигляд:

Варіант 1 Варіант 2

-2
	0,1	0,15	0,25	0,05
	0,05		0,01	0,02
	0,06	0,04	0,01

-1
-1	0,15	0,05	0,01	0,09
	0,25		0,03	0,01

Варіант 3 Варіант 4

				-1
	0,01	0,02	0,01	0,03	0,15
	0,03		0,05	0,01	0,02
	0,03	0,04	0,1		0,1

-1
	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06
	0,13	0,17	0,01	0,01

Варіант 5 Варіант 6

-2	0,25	0,05	0,01
-1	0,01	0,01	0,02
		0,25	0,1

-1	0,03	0,2
	0,02	0,1
	0,01
	0,05	0,3

Варіант 7 Варіант 8

-2	-1
	0,02	0,04	0,04	0,08	0,01
	0,15	0,1		0,06	0,15

-1
	0,05	0,04	0,03
	0,1	0,05	0,02
		0,15	0,01
	0,16	0,14

Варіант 9 Варіант 10

-1	0,13	0,02	0,01
		0,17	0,18
	0,05	0,01	0,01
		0,12	0,03

-3
	0,2	0,01	0,1	0,05
	0,05		0,12	0,24

Варіант 11 Варіант 12

-2	-1
	0,04	0,1	0,11	0,03
	0,05	0,19	0,1	0,02
	0,01		0,04	0,01

-2	0,1	0,2
-1		0,01
	0,01	0,08
	0,13
	0,1	0,17

Варіант 13 Варіант 14

-2	-1
	0,01	0,02		0,05	0,01	0,03
	0,04		0,08		0,01

-3
-1	0,11	0,05	0,01
		0,05	0,01
	0,19	0,1

Варіант 15 Варіант 16

-2	-1
			0,01	0,01
	0,08	0,03	0,06	0,04
	0,1	0,2	0,03	0,07

-1	0,15		0,05	0,1
	0,19	0,1	0,11

Варіант 17 Варіант 18

-3	-2
	0,13	0,17		0,1
		0,11	0,02	0,1	0,01
	0,03		0,02	0,01

-1
-2	0,03		0,05	0,05	0,25
	0,02	0,01	0,04	0,1	0,14

Варіант 19 Варіант 20

-2	-1
-2	0,03		0,03	0,05	0,03
	0,2	0,1	0,25	0,01

-1
-2	0,15	0,02	0,01
-1		0,1	0,17
	0,01	0,02	0,03
	0,01	0,2

Варіант 21 Варіант 22

-2	0,02	0,01	0,02
-1	0,1		0,05
	0,11		0,19
	0,06	0,18	0,02

-1
-2	0,2	0,02	0,02	0,01
	0,03		0,45	0,01

Варіант 23 Варіант 24

-2
	0,15	0,05	0,25
	0,1		0,05
	0,02	0,02	0,02

-2	0,11	0,12
-1	0,13	0,02
		0,1
	0,15	0,01

Варіант 25

-1
-1	0,04	0,01	0,05	0,1
		0,01	0,09	0,1
	0,15	0,15		0,02

Завдання 8

Знайти:

· розподіли компонент випадкового вектора ;

· умовну щільність розподілу компоненти за умови, що , умовну щільність розподілу компоненти за умови, що , тобто і ;

· математичне сподівання і коваріаційну матрицю вектора ;

· умовні математичні сподівання та ;

· перевірити, чи компоненти вектора є незалежними;

Щільність розподілу вектора має такий вигляд:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14) R .

15)

16)

17)

18)

19)

20) R .

21)

22)

23)

24)

25)

Поиск по сайту: