Напруги і деформації кручення

Уявимо, що прямий круговий циліндр, який зазнає деформації кручення, складається з нескінченно великої кількості волокон, паралельних

осі. Вважатимемо, що для кручення справедлива гіпотеза про ненатискання волокон.

Знаючи, що під час кручення відбувається деформація зсуву, природно вважати, що в точках поперечного перерізу бруса виникають тільки дотичні напруги τ, перпендикулярні до радіуса, що сполучає ці точки з віссю кручення. Існування нормальних напруг у поздовжньому перерізі виключається, оскільки справедлива гіпотеза про ненатискання волокон; нормальні напруги у поперечному перерізі не виникають, бо немає поздовжньої сили. На

рис. 22.1 видно, що абсолютний зсув перерізу волокна а дорівнює дузі аа1, а переріз

волокна Ь — дузі ЬЬ1:

bb1 = rφ, aa1 = rφ,

де ф — повний кут закручування, рад;

г— радіус циліндра; r — відстань волокна Ь від осі кручення.

Оскільки радіуси перерізу під час кручення залишаються прямими, то величина абсолютного зсуву перерізу волокон прямо пропорційна їх відстані від

осі кручений. Відносний зсув перерізу волокна Ь

γr = rφ/l = φo*r.

Застосуємо формулу закону Гука для зсуву:

Τr = G*γr = G1*φo*r.

Коли r = 0, то τ = 0, тобто на осі кручення дотичні напруги дорівнюють нулю. Коли r = г, то τ = τmах, тобто дотичні напруги досягають

максимальних значень у волокон, що найбільше віддалені від осі кручення :

τmах = G*φo*r.

Оскільки відносний кут закручування φo величина стала для даного циліндричного бруса, то дотичні напруги при крученні прямо пропорційні відстані точок перерізу від осі кручення. Епюра розподілу напруг вздовж радіуса перерізу має вигляд трикутника (рис. 22.3). Якщо брус складається з однієї ділянки, тобто має сталий перерізі сталий по довжині крутний момент, то дотичні напруги у даному волокні будуть по всій довжині циліндра однакові.

Перейдемо до виведення формул для визначення кута закручування і напруг у поперечному перерізі залежно від крутного моменту. Розріжемо брус, зображений на рис. 22.1, поперечною площиною, що знаходиться на відстані z від закріплення, і розглянемо його переріз (рис. 22.3). Виділимо в перерізі нескінченно малу площадку dF на відстані r від осі кручення. Сила dQ, яка діє на цю площадку, буде перпендикулярна до радіуса і дорівнюватиме

dQ = τr*dF.

Визначимо момент внутрішніх сил відносно осі кручення, тобто крутний момент:

Мк = ∫dQ*r = ∫τo*dFr = ∫G*φo*r*dFr = G*φo∫r²dF = =G*φo*Jp,

звідки знайдемо відносний кут закручування:

φo = Mk/(G*Jp)), рад.

Повний кут закручування циліндра довжиною /

Φ = Mk*l/(G*Jp), рад.

Добуток G*Jp, що стоїть у знаменнику, називають ж о р с т к і с т ю перерізу при крученні.

Таким чином, установлено, що повний кут закручування круглого циліндра прямо пропорційний крутному моменту, довжині циліндра і обернено пропорційний жорсткості перерізу при крученні. Оскільки для виведення останньої формули застосовано закон Гука, то вона дійсна в межах, коли навантаження і деформація прямо пропорційні.

Для циліндричного бруса, який має кілька ділянок, які різняться матеріалом, розмірами поперечного перерізу, величиною крутного моменту,повний кут закручування дорівнює алгебраїчній сумі кутів закручування окремих ділянок:

φ = ∑φi.

Виведемо формулу для визначення напруг:

τr = G*φo*r = G*Mk*r/(GJp) = Mk*r/Jp.

Коли r = г, то напруги матимуть максимальні значення:

τmax = Mk*r/Jp = Mk/(Jp/r) = Mk/Wp,

де Wp = Jp/r — момент опору крученню (або полярний момент опору).Момент опору крученню дорівнює відношенню полярного моменту інерції до радіуса перерізу.

Одиниця моменту опору крученню

[Wp]= [Jp]/[r] = м³.

Отже, напруги і деформації кручення круглого циліндра обчислюють за формулами

τmax = Mk/Wp, φ = Mk*l/(G*Jp).

Треба звернути увагу на те, що ці формули за структурою аналогічні формулам для обчислення напруг і деформацій розтягу, стиску і застосовні лише для ділянок бруса з однакового матеріалу, що мають сталі

поперечний переріз і крутний момент. За законом парності дотичних напруг, останні виникають не тільки у поперечних, а й у поздовжніх перерізах, тому, наприклад, у дерев'яних брусах під час кручення ви-

никають тріщини вздовж волокон (деревина погано працює на сколювання вздовж волокон).

З епюри розподілу дотичних напруг при крученні видно, що внутрішні волокна бруса зазнають невеликих напруг, тому вали іноді роблять порожнистими, чим досягається значний виграш в матеріалі при незначній втраті міцності. Визначимо момент опору крученню для круглого і кільцевого перерізів.

1. Круг діаметра d:

Wp = Jp/(0.5d) = πd*4/(32*0.5d) = πd³/16 = 0.2d³.

2. Кільце, що має розміри Dxd

Wp = Jp/(0.5D) = π(D*4 – d*4)/(32*0.5D) = π(D*4-d*4)/(16D)=

=0.2(D*4-d*4)/D,

Зазначимо, що коли полярний момент інерції кільцевого перерізу можна визначити як різницю моментів інерції великого і малого кругів,то момент опору крученню не можна визначати як різницю моментів опорів цих кругів.

Приклад 22.2. Стальну круглу дротину, що має довжину l = 1 м і діаметр d = 2 ми,одним кінцем закріплено у затискачі, а на другому кінці до неї прикладено скручуючий момент. При якому куті закручування напруга кручення дорівнюватиме 60 МПа? Мо-

дуль пружності другого роду G = 8,2 ■ 10*4 МПа.

Р о з в ' я з а н н я. Запишемо формули, необхідні для розв'язання задачі: повний кут закручування круглого циліндра

φ = Mk*l/(G*Jp)

максимальна напруга кручення

τmax = Mk/Wp,

звідки Mk = τmax*Wp Враховуючи, що полярний момент інерції

Jp = Wp*d/2

і підставляючи числові значення, маємо

φ = τmax*Wp*l*2/(G*Wp*d) = τmax*l*2/(G*d) = 60*10*6*1*2/(8,2*10*4*10*6*2*10-3)=

= 0,732 рад = 42˚.

Поиск по сайту: