Вектори, лінійні операції над векторами

ЛЕКЦІЯ 6. ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

ПЛАН

1. Системи координат

2. Вектори, лінійні операції над векторами

3. Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів

Системи координат

Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову систему координат у просторі. Якщо таких осей дві: Ох і Оу, то маємо систему координат на площині.

Рис. 1

Рис. 2.

Осі Ох, Оу, Оz називаються відповідно осями абсцис, ординат і аплікат, точка О — початок системи координат. Нехай М — довільна точка в просторі або на площині. Декартовими координатами x, y, z точки М називатимемо відповідно довжини ОА, ОВ, ОС напрямлених відрізків

Таким чином, кожній точці простору відповідає впорядкована трійка чисел (x, y, z), а на площині — впорядкована пара чисел (x, y), тобто встановлюється відповідність між геометричним образом — точкою і впорядкованою множиною чисел. Ця відповідність дає можливість використовувати рівняння для відображення геометричних образів, таких як лінія, площина тощо, та застосовувати алгебраїчні методи для розв’язування геометричних задач.

Полярна система координат складається з деякої точки площини О, яка називається полюсом, променя ОА, що виходить з цієї точки і називається полярною віссю. Крім того, задається одиниця масштабу для вимірювання довжин відрізків.

Рис. 3

Рис. 4

Полярними координатами точки М називаються числа r — відстань від полюса О до точки М і j — кут, на який треба повернути полярну вісь ОА до її збігу з ОМ, проти годинникової стрілки.

Полярний радіус може змінюватись у межах < ∞, полярний кут, як правило, змінюється в межах < .

Зв’язок між полярними і декартовими координатами точки (рис. 4) встановлюють формули:

(1.1)

Приклад. Знайти полярні координати точки М (2, 2).

З формули (2.1) маємо , tgj = 1. Згідно з останньою рівністю , або , але у = 2 > 0 і х = 2 > 0, маємо . У полярних координатах точка

Розглянемо такі перетворення систем координат:

1) паралельний зсув осей, коли змінюється положення початку системи координат, а напрям осей залишається таким самим;

2) поворот осей, коли обидві осі повертаються на деякий кут відносно початку системи координат.

Рис. 5

Рис. 6

1. Нехай точка М у старій системі координат Оху має координати (х, у), а в новій системі координат — . Знайдемо зв’язок між ними. З рис. 2.5 бачимо, що

, (1.2)

де (х₀, у₀) — декартові координати початку нової системи координат (точка О´) у старій системі координат. Розв’язуючи рівняння (1.2) відносно і , маємо .

2. Повернемо тепер стару систему координат Оху відносно точ­ки О на кут a і дістанемо нову систему Ох¢y¢ (рис. 6).

Розглянемо також дві полярні системи координат з полюсом у точці О і полярними осями Ох і Ох¢. Тоді згідно з рис. 6 маємо

.

Крім того, g = a + b, підставляючи це значення gу формули, остаточно будемо мати:

(1.3)

Розв’язуючи рівності (1.3) відносно дістаємо:

= х cosa + y sina, = – х sina + y cosa.

Здобуті формули відбивають зв’язок між старими (x, y) і новими координатами точки.

Вектори, лінійні операції над векторами

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори і вважаються рівними, коли вони:

1) колінеарні;

2) однаково напрямлені;

3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор . Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 2.7). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно і .

Рис. 7

Означення. Проекцією вектора на вісь l називається довжина напрямленого відрізка на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям збігається з напрямом l і , якщо напрям протилежний напряму l.

Позначається проекція вектора на вісь l — пр_l . З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

пр_l = ,

де — кут між вектором і віссю.

Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х₁, у₁, z₁) і кінця В (х₂, у₂, z₂) вектора , то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:

Ох: а_х = х₂ – х₁, Оу: а_у = у₂ – у₁, Оz: а_z = z₂ – z₁.

Довжина вектора подається формулою:

(1.4)

Якщо позначити a, b, g — кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:

. (1.5)

У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (1.5) до квадрата і скориставшись (1.4), дістанемо:

cos²a + cos²b + cos²g = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (а_х + b_х, а_у + b_у, а_z + b_z).

2. Множення вектора на число a Î R:

.

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:

Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:

Нехай вектори такі, що за напрямом збігаються відповідно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді

(1.6)

3. Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:

,

де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Властивості скалярного добутку:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. якщо і навпаки, якщо .

Нехай вектори і задано за допомогою (1.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:

(1.7)

Отже,

З рівності (1.7) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є а_х b_х + а_у b_у + а_z b_z = 0.

2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

_.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:

1) довжина вектора , де j — кут між двома векторами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і

Рис. 8

3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:

Знайдемо координати вектора , якщо , .

(1.8)

або

.

Рис. 9

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .

Розглянемо геометричний зміст мішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (1.9)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (1.9) маємо умову компланарності трьох векторів .

.

Враховуючи формули (1.7) і (1.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:

або

.

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .

Поиск по сайту: