Власні числа і власні вектори матриці

ЛЕКЦІЯ 5. N-ВИМІРНИЙ ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР

ПЛАН

1. Основні поняття

2. Зв’язок між базисами

3. Лінійні перетворення

4. Власні числа і власні вектори матриці

Основні поняття

Означення 1. Сукупність упорядкованих систем з n дійсних чисел, для яких визначено дії додавання і множення на число, утворює n-вимірний векторний простір V_n.

Елементами заданого таким чином простору будуть впорядковані системи чисел, які називатимемо n-вимірними векторами і записуватимемо: . Числа a_i, i = 1, 2, 3, ..., n називаються компонентами вектора . Якщо розглянути ще один елемент простору V_n — вектор , то у просторі V_n можна виконувати такі дії.

Додавання двох векторів за правилом:

.

Множення вектора на число a, за правилом:

.

Означення 2. Два вектори і вважаються рівними, якщо виконуються рівності .

Роль нуля відіграє . З означень дій додавання і множення вектора на число випливають властивості:

Означення 3.Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , що .

Означення 4. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа хоча б одне з яких відмінне від нуля, що виконується рівність

. (1.1)

Означення 5. Система векторів називається лінійно незалежною, коли всі , що виконується рівність

.

Означення 6. Лінійно незалежна система n-вимірних векторів називається максимальною, або повною, лінійно незалежною системою, якщо в результаті додавання до неї будь-якого відмінного від n-вимірного вектора вона стає лінійно залежною.

З розглянутого твердження випливає, що в n-вимірному просторі кожна лінійно незалежна система, яка складається з n векторів, буде максимальною, а також будь-яка максимальна, лінійно незалежна система векторів у цьому просторі складається з n векторів.

Означення 7. Базисом векторного простору V_n називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так, систему векторів:

можна розглядати як базис простору V₃.

Розглянемо дві системи векторів:

, (1.2)

. (1.3)

Система векторів (1.3) лінійно виражається через систему векторів (1.2), якщо кожний із них є лінійною комбінацією системи (1.2), тобто .

Означення 8. Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.

Означення 9. Кількість векторів, що входять до будь-якої максимальної лінійно незалежної підсистеми даної системи векторів, називається рангом цієї системи.

Ранг системи векторів має відповідний зв’язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, із компонентів векторів системи (1.2) утворити матрицю , то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і вказуватиме на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпців) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов’язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.

2. Зв’язок між базисами

Простір V_n має базис:

. (1.4)

Якщо взяти довільний вектор , то з максимальності лінійно незалежної системи векторів (1.4) випливає, що

, (1.5)

де хоча б одне з a_і відмінне від нуля.

Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів базису. Можна показати, що вираз (1.5) — єдиний для вектора .

Нехай у просторі V_n задано два базиси:

(1.6)

. (1.7)

Кожен вектор нового базису (1.7) однозначно можна аналогічно (1.5) подати через базис (1.6) у вигляді

(1.8)

Означення 9. Матрицю , стовпцями якої є координати векторів нового базису (1.7) у старому базисі (1.6), називатимемо матрицею переходу від базису е до базису .

Якщо розглянути дві матриці е і , стовпцями яких є компоненти векторів відповідно старого е і нового базисів, то рівність (1.8) можна записати в матричному вигляді:

. (1.9)

Водночас, якщо — матриця переходу від базису (1.6) до базису (1.9), маємо рівність:

. (1.10)

Скориставшись (1.9) і (1.10), запишемо:

.

З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного базису до іншого завжди є невиродженою матрицею, а кількість базисів у V_n дорівнює кількості невироджених квадратних матриць. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.

Нехай в V_n задано два базиси (1.6) і (1.7) з матрицею переходу . Зв’язок між координатами довільного вектора у цих двох базисах подається формулою:

. (1.11)

Помноживши рівність (1.11) зліва на матрицю , дістанемо:

, (1.12)

звідки можна визначити координати вектора в новому базисі .

Лінійні перетворення

Нехай задано векторний простір V_n і вектори і — деякі елементи цього простору.

Означення 10. Перетворення , яке переводить кожен вектор у деякий вектор , такий що , де вектор є образом вектора , називається лінійним, якщо виконуються властивості:

1. . 2. .

З означення випливає:

.

Нехай у просторі V_n задано деякий базис:

. (1.13)

Будь-який вектор у базисі (1.13) однозначно задається співвідношенням

. (1.14)

З координат векторів у базисі (1.14) можна побудувати квадратну матрицю , записавши координати векторів як стовпці матриці А, тоді рівність (1.14) у матричному вигляді запишеться так:

. (1.15)

Матриця А задає лінійне перетворення j у базисі (1.13). Якщо через позначимо рядок, складений з векторів бази, то з (1.14) і (1.15) випливає матрична рівність між лінійним перетворенням j і матрицею А в базисі е: . Знаючи матрицю А лінійного перетворення j в базисі (1.13), можна за координатами вектора в цьому базисі знайти координати його образу за формулою , якщо . Стовпець координат вектора (образу) дорівнює матриці А лінійного перетворення j, помноженій справа на стовпець координат вектора . Якщо порівняти останню рівність з рівністю (1.12), очевидна повна їх аналогія, причому матриця Т була невиродженою.

Нехай маємо базиси і у просторі V_n з матрицею переходу Т, тобто

, (1.16)

і нехай лінійне перетворення j задається в цих базисах відповідно матрицями А і А¢.

. (1.17)

Остання рівність (1.17) з урахуванням (1.18) записується у вигляді . А проте . Тому, прирівнюючи праві частини, маємо: . Звідси на підставі лінійної незалежності базису і єдиності розкладу за базисом випливає: . Матриця Т невироджена. Отже, існує Т^–1 і остаточно дістанемо співвідношення .

Зауважимо, що квадратні матриці В і С називаються подібними, якщо вони пов’язані рівністю , де Q — деяка невироджена квадратна матриця.

Таким чином, матриці, що задають одне й те саме лінійне перетворення в різних базисах, подібні між собою.

Нехай у просторі задано лінійні перетворення Назвемо сумою цих перетворень перетворення якщо

Добутком назвемо перетворення, для якого виконується рівність Нарешті, добутком лінійного перетворення φ на число є таке перетворення αφ, для якого

Легко показати, що перетворення є лінійними.

Нехай у базисі перетворення задаються відповідно матрицями , тобто

Тоді для векторів базису маємо:

Отже, можна стверджувати, що матриця суми і добутку лінійних перетворень дорівнює відповідно сумі і добутку матриць цих перетворень в одному й тому самому базисі. А операції з лінійними перетвореннями мають ті самі властивості, що й операції з матрицями.

Власні числа і власні вектори матриці

Нехай — деяка квадратна матриця розміру з дійсними елементами, — деяке невідоме число. Тоді матриця , де Е — одинична матриця, називається характеристичною матрицею для матриці А:

.

Поліном n-го степеня називається характеристичним поліномом матриці А, а його корені – власними числами матриці А.

Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.

Наслідок. Лінійне перетворення j в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна стверджувати, що лінійне перетворення j характеризується набором власних чисел, які далі називатимемо спектром лінійного перетворення j, або спектром матриці А.

Розглянемо лінійне перетворення j у просторі V_n, таке що переводить відмінний від нуля вектор у вектор, пропорційний до самого вектора :

(1.19)

Такий вектор називатимемо власним вектором перетворення j, а — власним числом, що відповідає цьому власному вектору.

Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного перетворення j, в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.

Вважатимемо, що лінійне перетворення j має такий характеристичний поліном, що всі його корені дійсні і різні. Тобто, розв’язавши рівняння n-го порядку , знайдемо n різних дійсних коренів . Якщо виконується така умова, то лінійне перетворення j дійсного лінійного простору V_n має простий спектр.

Кожному власному числу l_і відповідає певний власний вектор. Власних векторів у цьому разі буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну систему векторів. Їх можна розглядати як базис V_n, в якому матриця лінійного перетворення A набирає найпростішого діагонального вигляду.

Поиск по сайту: