Теорема Кронекера—Капеллі

ЛЕКЦІЯ №4. ЗАГАЛЬНА ТЕОРІЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

ПЛАН

1. Поняття систем лінійних алгебраїчних рівнянь

2. Теорема Кронекера-Капеллі

3. Фундаментальна система розв’язків систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Поняття систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь відіграють важливу роль у математиці, оскільки до них зводиться велика кількість задач лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь, математичної фізики та областей фізики й техніки, де застосовуються ці математичні теорії.

Cистеми лінійних алгебраїчних рівнянь в загальному вигляді можна подати так:

(1.1)

Означення 1. Дві системи рівнянь з однаковими невідомими називаються рівносильними, якщо кожний розв’язок однієї системи є розв’язком іншої системи або якщо ці системи рівнянь несумісні.

У результаті еквівалентних перетворень системи рівнянь завжди дістаємо рівносильну систему рівнянь. До еквівалентних перетворень системи належать:

1) переставлення місцями рівнянь;

2) множення або ділення рівнянь на число, що не дорівнює нулю;

3) додавання до деякого рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Теорема Кронекера—Капеллі

У загальному випадку перш ніж розв’язати систему рівнянь (1.1), важливо знати, чи існують її розв’язки, тобто чи буде вона сумісною. Щоб відповісти на це запитання, розглянемо дві матриці: головну матрицю А, складену з коефіцієнтів при невідомих системи рівнянь (1.1), і розширену матрицю , утворену приєднанням до матриці А стовпця вільних членів:

, .

Теорема Кронекера—Капеллі. Для того щоб система рівнянь (1.1) була сумісною (мала розв’язок), необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриціАдорівнював рангу розширеної матриці :

З теореми випливає, що в матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, неодмінно існує мінор r-го порядку, відмінний від нуля, оскільки ранг цієї матриці дорівнює r.

Нехай, наприклад, це мінор, який складено з коефіцієнтів при перших r невідомих. Залишимо доданки з цими невідомими в лівій частині рівняння, а решту доданків перенесемо у праву частину. Усі рівняння системи (1.1) після r-го відкинемо. Тоді система рівнянь набере вигляду:

(1.2)

Невідомі змінні x₁, x₂, ..., x_r називаються головними невідомими (змінними), а х_r+1, x_r+2, ..., x_n — вільними невідомими (змінними).

Головний визначник системи рівнянь (1.2) (мінор r-го порядку) відмінний від нуля. За правилом Крамера така система рівнянь має єдиний розв’язок відносно головних невідомих x₁, x₂, ..., x_r.. Зрозуміло, що кожне з головних невідомих можна подати через вільні невідомі. Якщо вільним невідомим не надано конкретних числових значень, маємо так званий загальний розв’язок системи рівнянь (1.1). Надавши вільним невідомим деяких числових значень, дістанемо частинний розв’язок цієї системи. Зрозуміло, що частинних розв’язків системи в цьому разі безліч. Така система є сумісною, але невизначеною.

Поиск по сайту: