Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Мінори та алгебраїчні доповнення

Лекція №1. Системи лінійних рівнянь, визначники

ПЛАН

Основні поняття систем лінійних рівнянь

2. Визначники другого і третього порядків, їх властивості

3. Мінори та алгебраїчні доповнення

4. Обчислення визначників

Основні поняття систем лінійних рівнянь

Предметом розгляду лінійної алгебри є насамперед теорія систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:

(1.1)

Означення 1. Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з n невідомими (змінними), де x1, x2, ..., xn — невідомі; aij — коефіцієнти системи рівнянь; bi — вільні члени, або праві частини системи рівнянь. Якщо всі bi = 0 , то система лінійних рівнянь називається однорідною.

Означення 2. Розв’язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k1, k2, ..., kn, у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x1, x2, ..., xn у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на правильні числові рівності.

Означення 3. Системалінійних алгебраїчних рівнянь називається несумісною, якщо дана система рівнянь не має жодного розв’язку.

Означення 4. Системалінійних алгебраїчних рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок.

Означення 5. Системалінійних алгебраїчних рівнянь називається визначеною, якщодана система сумісна та має єдиний розв’язок.

Означення 6. Системалінійних алгебраїчних рівнянь називається невизначеною, якщо дана система сумісна та має більш як один розв’язків.

2. Визначники другого і третього порядків, їх властивості

Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто m=n. Нехай, наприклад, n=m=2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

Означення 7. Визначником другого порядку називається вираз

.

Визначник (детермінант) позначається , або det

Приклад.

.

Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Означення 8. Визначником третього порядку називається вираз:

. (1.2)

Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку пропонуємо таку схему (правило трикутників):

Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» — це добутки елементів a11, a22, a33, розміщених на головній діагоналі визначника, і добутки елементів a13, a21, a32і a12, a23, a31, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками елементів a13, a22, a31, розміщених на сторонній діагоналі визначника, та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні сторонній діагоналі визначника — a11, a23, a32 і a12, a21, a33.

Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса).

У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і другий стовпці:

Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком «плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком «мінус» — добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на діагоналях, паралельних їй.

Означення 9. Визначник: , рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо визначника (1.2).

Властивості визначників:

Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті транспонування.

З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.

Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.

З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка можна виносити за знак визначника.

Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

Мінори та алгебраїчні доповнення

Нехай визначник має n рядків і n стовпців.

Означення 10. Мінором k-го порядку k [1; n–1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор першого порядку — це будь-який елемент визначника.

Приклад. Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку такого визначника:

.

, , , ... , .

Мінори , , другого порядку утворюються з елементів, розміщених на перетині першого, другого рядків; першого, другого стовпців; третього, четвертого рядків; першого, третього стовпців; другого, четвертого рядків; третього, четвертого стовпців. Мінор третього порядку утворюється з елементів, розміщених на перетині другого, третього, четвертого рядків і першого, третього, четвертого стовпців.

Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс — порядок мінора.

Означення 11. Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор, який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го порядку.

Нехай мінор k-го порядку утворено з елементів, розміщених на перетині i1, i2, ..., ik рядків і j1, j2, ..., jk стовпців.

Означення 12. Алгебраїчним доповненнямдо мінора k-го порядку є допов-
няльний мінор (nk)-го порядку, узятий зі знаком , де Якщо сума номерів рядків і стовпців парна, то береться знак «+», якщо непарна — то знак «–».

Далі важливу роль відіграватиме алгебраїчне доповнення до мінора першого порядку. Нехай — будь-який елемент-мінор першого порядку у визначнику n-го порядку, тоді буде алгебраїчним доповненням до мінора . Тут — доповняльний мінор (n–1)-го порядку, утворений викреслюванням
i-рядка і j-стовпця в початковому визначнику n-го порядку.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.