Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин дає повну інформацію про них. Проте на практиці немає потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні параметри, що характеризують їх істотні ознаки. Ці параметри і називають числовими характеристиками випадкових величин.
Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.
Термін «математичне сподівання» випадкової величини Х є синонімом терміна «середнє значення» випадкової величини X.
Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина .
Якщо Ω — обмежена множина, то: .
Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина .
Якщо Ω = (– ¥; ¥), то: .
Якщо Ω = [a; b], то:
Властивості математичного сподівання
1. М (С) = С.
2. М (СХ) = СМ (Х).
3. Якщо А і В є сталими величинами, то .
Приклад. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:
хі
–6
– 4
рі
0,1
0,1
0,2
0,3
0,1
0,2
Обчислити М (Х).
Розв’язання.
Приклад. За заданою щільністю ймовірностей
обчислити М (Х).
Розв’язання.
Мода та медіана випадкової величини.
Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.
Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:
f (Mо) = max.
Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл ймовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.
Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність ймовірностей подій. Медіану визначають із рівняння:
Приклад. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.
Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.
Розв’язання.
Можливі значення випадкової величини:
Х = 0, 1, 2, 3.
Імовірності цих можливих значень такі:
p1 = (0,2)3 = 0,008;
p2 = 3р q2 = 3 × 0,8 × 0,04 = 0,096;
p3 = 3p2q = 3 × 0,64 × 0,2 = 0,384;
p4 = p3 = (0,8)3 = 0,512.
Запишемо закон таблицею:
хі
рі
0,008
0,096
0,384
0,512
Із таблиці визначаємо Мo = 3.
Отже, дістаємо одномодальний розподіл.
Приклад. За заданою щільністю ймовірностей
Знайти а і F(x), Mo.
Розв’язання.
За умовою нормування маємо:
Щільність ймовірностей зі знайденим а матиме вигляд
Графік f(x):
Згідно з рисунком маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.
Визначаємо Мe:
Отже,
Для визначення Ме застосовуємо рівняння:
3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення.
Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати безліч випадкових величин.
Приклад. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:
хі
– 0,5
– 0,1
0,1
0,5
рі
0,4
0,1
0,1
0,4
уj
– 100
– 80
– 10
pj
0,1
0,2
0,2
0,2
0,1
0,2
Обчислити М (Х) і М (Y).
Розв’язання.
Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні.
Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини .
Для дискретної випадкової величини Х дисперсія ;
для неперервної .
Якщо Х Î [а; b], то .
Властивості дисперсії
1. .
2. .
3. Якщо А і В — сталі величини, то .
Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:
Для дискретної випадкової величини Х: ;
для неперервної: .
Якщо Х Î [а; b], то:
Слід пам’ятати, що дисперсія не може бути від’ємною величиною.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:
.
Приклад. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:
хі
– 4
– 2
рі
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
Обчислити D (X), s (X).
Розв’язання. Маємо:
Приклад. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х задано функцією
Обчислити D (X); s (X).
Розв’язання. За заданою функцією розподілу ймовірностей подамо закон розподілу таблицею