Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Часто результаты опыта (эксперимента) описываются не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими комплекс или систему. Например:

1) Активная и реактивная мощности потребителя образуют систему, поскольку они взаимосвязаны между собой.

2) Максимум нагрузки электрической системы и максимумы нагрузки потребителей.

3) Максимум нагрузки системы и температура окружающего воздуха.

4) Выработка эл.энергии ГЭС и высота снежного покрова.

5) Рост человека и вес человека.

В энергетике мы часто имеем дело с n случайными величинами, образующими систему, например, нагрузка замкнутой эл. системы с n узлами нагрузки. Режимы электропотребления в узлах взаимосвязаны с помощью внешних факторов: освещенности, времени года и т.д.

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, её составляющих, помимо этого они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами.

 

 

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Функцией распределения системы двух случайных величин (X,Y) называется функция F(x, y), определяющая вероятность совместного выполнения двух неравенств X < x и Y < y:

 

.

Если пользоваться для геометрической интерпретации системы образом случайной точки, то функция распределения F(x, y) есть ни что иное, как вероятность попадания случайной точки (Х, Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (x, y), лежащей левее и ниже её.

Рис. 7.1 Геометрическая интерпретация системы случайных величин и её функции распределения

 

Функцией распределения системы n случайных величин (X1, Х2,…, Хn) называется вероятность совместного выполнения n неравенств вида Xi<xi

.

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

1. Функция распределения F(x, y) или F (х1,х2,…хn) есть неубывающая функция своих аргументов, т.е.

при ;

при .

В этом свойстве функции F(x, y) можно наглядно убедиться, воспользовавшись геометрической интерпретациуй функции распределения, как вероятности попадания в квадрант с вершиной (x, y). Увеличивая x (смещая правую границу квадранта вправо) или увеличивая y (смещая верхнюю границу вверх), мы не можем уменьшить вероятность попадания в этот квадрант.

2. Повсюду на − ∞ функция распределения равна нулю:

.

В этом свойстве наглядно убеждаемся, неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта (х→−∞) или вниз его первую границу (у→−∞)или делая это одновременно с обеими границами, при этом вероятность попадания в квадрант стремится к нулю.

3. При одном из аргументов равном +∞, функция распределения системы превращается в функцию распределения системы случайных величин, соответствующей другому аргументу

где F1(x), F2(у)- соответственно, функции распределения случайных величин Х и Y.

В этом свойстве функции распределения можно наглядно убедиться, смещая ту или иную границу квадранта на +∞, при этом в пределе квадрант превращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной из величин, входящих в систему.

Для системы, состоящей из n случайных величин

4. Если оба аргумента равны +∞, функция распределения системы равна единице:

При х→+∞, у→+∞ квадрант с вершиной (х,у) в пределе обращается во всю плоскость хОу, попадание в которую есть достоверное событие.

 

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМЫ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Функция распределения системы любых случайных величин существует как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.

Распределение системы непрерывных случайных величин характеризуют не только функцией распределения, но и плотностью распределения.

Если функция F(x, y) не только непрерывна, но и дифференцируема, то вторая смешанная частная производная функция F(x, y) по обоим аргументам х и у

 

называется плотностью распределения системы.

Геометрически функция может быть изображена некоторой поверхностью. Эта поверхность аналогична кривой распределения для одной случайной величины и называется поверхностью распределения.

 

Функция распределения системы выражается через плотность распределения формулой

 

 

интегрирование производится сначала по y, а потом по х.

 

 

СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:

 

1 Плотность распределения системы есть функция неотрицательная

 

 

2

как вероятность достоверного события.

Для системы n случайных величин

 

 

Результаты, полученные для 2х СВ легко переносятся на общий случай n СВ.

 

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН, ВХОДЯЩИХ В СИСТЕМУ. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Выразим плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, через плотность распределения системы

 

 

Дифференцируя по х, получим выражение для плотности распределения величин Х

 

аналогично

- плотность распределения величины Y.

 

Т.о. для того, чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему, нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине.

Т.о., зная закон распределения системы, заданный в виде функции распределения или плотности распределения можно найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему.

Однако, зная только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, не всегда можно найти закон распределения системы: нужно знать ещё зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость может быть найдена с помощью т.н. условных законов распределения.

Условным законом распределения величины Х, входящей в систему (Х,У), называется её закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение у.

Условная функция распределения обозначается F(x/y) , условная плотность распределения .

Пример по зависимости между весом (Х) и его длиной (У).

Можно доказать, что

 

 

Т.е. плотность распределения системы двух величин равна плотности распределения одной из величин, входящей в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение.

Эти формулы часто называют теоремой умножения законов распределения. Она аналогична теореме умножения вероятностей в схеме событий.

Разрешая указанные формулы относительно и , получим выражения условных законов распределения через безусловные

 

 

или, применяя формулы, получим ранее

 

 

ЗАВИСИМЫЕ И НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

 

Здесь речь идет не о функциональной зависимости, когда по значению одной из величин, можно точно узнать значение другой, а о вероятностной или стохастической зависимости, когда мы можем указать только закон распределения одной величины, зависящей от того, какое значение приняла другая.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной: крайние случаи

1 – функциональная зависимость Y=ax+b;

2 – вероятностная зависимость;

3 – полная независимость случайных величин.

Для независимых СВ

 

 

Случайные величины Xи Yназываются независимыми, если закон распределения каждой и з них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины Xи Yназываются зависимыми.

Для независимости случайных величин необходимо и достаточно, чтобы

 

 

Поскольку

 

 

Т.е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Это необходимое и достаточное условие независимости случайных величин.

 

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ.

 

Для системы случайных величин (Х1,Х2,…Хn) вводятся следующие характеристики:

1) nматематических отчислений

mx1, m x2…mxn

2) nдисперсий

Dх1,Dх2Dхn

 

или среднеквадратических отклонений (стандартных)

Для двух случайных величин Х и Y

 

 

Для дискретных случайных величин корреляционный момент выражается формулой

где

- вероятность того что система (Х,Y) примет значения (хi,yj).

Суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин Х,Y.

Для непрерывных случайных величин

 

Размерность - квадрат случайной величины (как и дисперсии).

Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая помимо рассеивания величин Х, Yтакже и связь между ними. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

 

 

Действительно, для независимых случайных величин

 

 

где - плотности распределения соответственно величин Х, Y.

Подставим это значение в формулу для Кxy.

Двойной интеграл можно заменить двухрядным.

 

 

Т.о., независимые случайные величины всегда некоррелированные.

Т.о., величина корреляционного момента характеризует зависимость между случайными величинами.

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ ВЕЛИЧИН Х И Y

 

Но корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. (Если одна из величин (Х, Y) мало отклонена от своего математического ожидания (почти не случайна), то корреляционный момент будет мал, какой бы такой зависимостью ни были связаны величины (Х, Y)). Поэтому для характеристики связи между величинами Х, Y в чистом виде переходят от момента Кxy к безразмерной величине

 

 

где - среднеквадратические отклонения величин Х, Y.

 

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только т.н. линейную зависимость.

Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины, другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону.

 

Коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между случайными величинами.

 

Свойства коэффициента корреляции

1.

для независимых СВ.

2. Если случайные величины Х, Y связаны линейной функциональной зависимостью

то причем +1, если а>0

-, если а<0.

В общем случае, если величины Х, Yпроизвольной вероятностной зависимостью , коэффициент корреляции может иметь значение в пределах и говорят о положительной корреляционной величине.

 

Говорят о отрицательной корреляционной величине Х, Y

 

КАК УСТАНАВЛИВАЕТСЯ КОРРЕЛЯЦИОННАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕЛИЧИНАМИ

 

О наличии существенной корреляции между СВ легко судить в первом приближении по графику, на котором изображены в виде точек, полученные из опыта пары значений случайных величин.

Между случайными величинами наблюдается значимая отрицательная корреляция. На практике, перед тем как исследовать корреляцию СВ, всегда полезно предварительно построить наблюдаемые пары значений на графике для первого качественного суждения о типе корреляции.

Затем специальными приемами находят оценки для числовых характеристик системы mp1, mp2, Др1, Др2 и К – при ограниченном числе опытов.

Для системы n случайных величин все корреляционные моменты и дисперсии удобно расположить в виде матрицы

 

 

называемой корреляционной матрицей системы СВ. Заметим, что дисперсия каждой из СВ Хi есть по существу частный случай корреляционного момента, а именно корреляционный момент величины Хi и той же величины Хi

 

 

Поэтому на главной диагонали корреляционной матрицы системы располагаются дисперсии каждой СВ, входящей в систему Д12n.

Кроме того из определения корреляционного момента ясно, что а элементы корреляционной матрицы системы расположены симметрично по отношению к главной диагонали, равны. Поэтому часто заполняется не вся корреляционная матрица, а лишь её половина, считается от главной диагонали.

 

Для наглядности суждения о корреляционности случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто вместо корреляционной матрицы пользуются нормированной корреляционной матрицей , составленной не из корреляционных моментов, а из коэффициентов корреляции

 

 

Тогда на главной диагонали такой матрицы всегда стоят единицы.

 

 

ДИСПЕРСИЯ СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

Рассмотрим систему 2х СВ Х,Y

 

 

Учтем, что

 

 

Дисперсия суммы 2х СВ равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент.

Дисперсия суммы n СВ Х1, Х2 …Хn

 

 

Знак i<jпод суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания СВ Х1, Х2,… Хn.

Если СВ Х1, Х2,… Хnнекоррелированные, т.е. по всем i, ji≠j, формула принимает вид

 

Все СВ делятся на: 1) коррелированные, если

2) некоррелированные, если

С другой стороны все СВ делятся на:

1) зависимые;

2) независимые.

Если СВ независимы, то они некоррелированные. Но из некоррелированности не следует их независимость. Но если СВ Х1, Х2,… Хnподчиняются нормальному закону распределения вероятности, то из некорреляционной вытекает их независимость.

 

Для того, чтобы количественно характеризовать степень линейной попарной зависимости (связи) между СВ, образующими систему, вводится понятие корреляционных моментов Кxixj или СО˅(ХiXj)

 

 

Всего их n(n-1), если исключить дисперсии при i=j.

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

 

По определению для системы (Х, Y) двух случайных величин (СВ) Х, и Y

 

Это выражение используют для вычисления в математ. статистике.

Из этой формулы следует, что

 

 

Математическая модель системы СВ используется:

1. В теории электрических нагрузок, при определении расчетной нагрузки, группа электроприемников, связанных вероятностной зависимостью.

Зависимость между индивидуальными графиками нагрузки обусловлена:

1. техническими связями;

2. взаимные влияния через общую сеть. В расчете нагрузок часто взаимным влиянием через сеть пренебрегают.

Корреляционная связь между СВ нагрузками участков характеризуют матрицей коэффициентов корреляции.

 

Требуется определить максимальную мощность трансформатора, вероятность превышения которой j, что закон распределения мощности также нормальный.

по таблицам норм. закона.

Аналогично покориться момента мощности главной магистрали.

Рассмотрим пример, наглядно свидетельствующий о свойствах групповых нагрузок при их формировании. Примем допущения: 1) нагрузки независимых случайных величин, то ; 2) все эл. приемники подключены к 0,38 кВ трансф.

Вероятность превышений j=0,0228

Все электроприемники однотипные независимые, т.е.

т.к. они идентичные

 

Будем придавать n различные значения, вычисляя Pтр.макс а также: 1) коэффициент разновременности максимумов ( коэффициент одновременности )

n
, кВт
, кВт 7,24 13,16 57,1
К0 0,724 0,66 0,57 0,55 0,53 0,52
КМ 1,448 1,316 1,142 1,1 1,062 1,032

 

Рмакс для одного эл.приемника принимаем равной его номинальной мощности (так, что и для группы из 3х эл.приемников).

Математическая модель системы СВ используется так же:

2) При решении задачи выравнивания группового графика нагрузки, состоящей в задании сдвигов между моментами включения электроприемников, приводящих к уменьшению величины групповой дисперсии мощности и тока. Эта задача особо важна для эл.приемников большой мощности, как электрически дуговые нити высокой нагрузки.

Для n зависимых эл.приемников дисперсия групповой нагрузки

Подбором сдвигов между индивидуальными графиками нагрузки можно получить отрицательные значения корреляционных моментов и значения групповой дисперсии меньше, чем сумма индивидуальных дисперсий.

Такое выравнивание группового графика нагрузки позволяет:

а) уменьшить максимум мощности группы

где

б) уменьшить потери электроэнергии в сети при сохранении того же расхода электроэнергии на технологический процесс.

Пусть ток группы эл.приемников Iср- средняя величина

Тогда потери акт. мощности в сети тоже сл. величина

Где r – эквив. активное сопротивление сети, Ом.

Её математическое ожидание

и потери электроэнергии

Где - расход активной и реактивной энергии.

 

С увеличением кол-ва электроприёмников происходит относительное выравнивание суммарных графиков, поэтому при больших n расчет можно производить по средним значениям систем .

С увеличением nдиапазон изменения нагрузок увеличивается, т.е. Др и группы растет. Однако увеличение средней нагрузки Рсм идет быстрее увеличения стандарта : так, для одинаковых электроприемников средняя мощность пропорциональна n

а стандарт

Поэтому происходит относительное уменьшение неравномерности при увеличении абсолютной неравномерности нагрузки.

КОМПЛЕКСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ(СВ)

 

Комплексной СВ называется СВ вида

,

где Х12- действительные СВ.

Комплексную СВ можно геометрически представить случайной точкой на плоскости х12.

 

М.о. комплексной СВ Х называется неслучайное комплексное число

Это среднее значение величины Х или геометрически средняя точка , вокруг которой происходит рассеивание случайной точки Х.

 

Дисперсией комплексной случайной величины называется математическое ожидание квадратов модуля отклонения СВ Х от её математического ожидания

Геометрическая дисперсия комплексной СВ есть среднее значение квадрата расстояния от СВ Х до её математического ожидания . Эта величина характеризует разброс случайной точки Х около её среднего положения.

Из рисунка видно, что модуль есть расстояние между точками Х и , которое можно выразить через их действительные и мнимые части.

Т.е. дисперсия комплексной СВ равна сумме дисперсии её действительной и мнимой частей

В электроэнергетике S- кажущаяся или полная мощность

Рассмотрим 2 комплексные СВ

Корреляционным моментом 2х комплексных СВ Z1,Z2 называется

В этом выражении используется сопряженная комплексная величина, чтобы при , получить дисперсию как действительную величину.

Выразим корреляционный момент 2х комплексного СВ через корреляционные моменты их действительных и мнимых частей

 

МЕТОД РАСЧЕТА РЕЖИМА РАЗОМКНУТОЙ СЕТИ ПРИ ВЕРОЯТНОСТНОМ ЗАДАНИИ НАГРУЗОК В УЗЛАХ

На рисунках приведена схема участка распред. сети 10 кВ завода или района города и её схема замещения. Аналогично ведется расчет сети 110 или 35 кВ.

Мощности нагрузок заданы характерными суточными графиками для 4х сезонов года в вероятностной форме. Эти нагрузки для различных групп электроприёмников заданы на шинах 0,38 кВ трансформаторных подстанции 10/0,4 кВ (в нижнем примере) или на шинах 10 кВ ПС 110-35/10 кВ, которые питают промышленных, коммунально-бытовых, сельскохозяйственных потребителей. Для каждой ступени (их всего 24) длительностью один час характерного суточного графика нагрузки задаются математические ожидания, среднеквадратические отклонения активной и реактивной мощностей нагрузки.

Естественные графики нагрузки m-ой группы потребителей вычисляются по формулам.

,

где - коэффициенты подобия, вычисляемые в зависимости от известных потребителей WP, WQ, кВт час, квар час активной или реактивной электроэнергии. Либо в зависимости от известных математических ожиданий максимума. mPmax, mQmax. KPS, KQS – коэффициенты месячных отклонений активной и реактивной нагрузок S-го месяца.

Разрешается использовать суточные графики нагрузок, полученные в режимные дни, при этом нагрузки принимаются как его математические ожидания, а дисперсии принимают численно решение нагрузок.

В случае, если известны математические ожидания максимумов годовых нагрузок, коэффициенты подобия вычисляются по формулам

где - математические ожидания максимальной активной и реактивной нагрузок по характерным графикам.

Надо определить неизвестные напряжения в узлах, так, и потери мощности в линиях, суммарные потери мощности и электроэнергии.

Алгоритм расчета режима

1. Рассчитывают математические ожидания активных и реактивных нагрузок групп электроприемников и их дисперсии , а также значения на шинах 0,38 кВ трансформаторов 10/0,4 кВ, считая эти нагрузки некоррелированными.

2. Считая, что напряжения в узлах равны наименьшему напряжению сети, рассчитывают приближенные значения мат. ожиданий сил токов трансформаторов:

3. Дисперсии силы токов трансформаторов

 

4. Рассчитывают переменные потери активной и реактивной мощностей в трансформаторах

5. Рассчитывают постоянные потери активной и реактивной мощностей в цеховых трансформаторах (потери холостого хода), принимаем

6. Рассчитывают нагрузки в узлах 10 кВ (на шинах ВН) тр-ов 10/0,4 кВ

 

 

7. Уточняют согласно п.2 с учетом потерь в тр-ре, приближенных значению сил токов тр-ов.

8. Вычисляют приближенные значения математических ожиданий сил токов в ветвях сети, используя матрицу путей

9. Вычисляют математические ожидания напряжений в узлах сети, например,

Аналогично находят м.о. напряжений в других узлах 2,4,6.

10. Рассчитывают уточненные значения математических ожиданий сил токов в узлах нагрузки

11. Рассчитывают уточненные значения математические ожиданий сил токов ветвей сети

12. Уточняют математические ожидания напряжения в узлах.

13. Вычисляют уточненные значения дисперсии сил токов в узлах нагрузки (на шинах ВН тр-ов 10/0,4 кВ).

 

 

14. Принимая допущения об отсутствии вероятностной зависимости между нагрузками узлов, рассчитывают дисперсии сил токов в элементах сети

15. Согласно формулам, аналогичным приведенным в п4, рассчитывают потери в ветви сети, суммарные потери мощности и потери электроэнергии.

Потери активной энергии

,

где Т- время, в течении которого график нагрузки стабилен суток.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.