Простір елементарних подій. Відношення між подіями

Розглянемо ряд прикладів, в яких під подіями ми ро­зумітимемо результати випробувань або спостережень.

Приклади.1. Випробування полягає в тому, що кидається гральний кубик, зроблений з однорідного матеріалу; грані кубика пронумеровано (від 1 до 6). При одному киданні кубика на його верхній грані може випасти будь-яке число очок від 1 до 6.

Подію «при одному киданні випало i очок» позначимо через (i = 1, ... , 6); події є елементарними (нeрозкладними), вони вичерпують усі можливі результати заданого ви­пробування. Але з цим випробуванням можна пов'язати і складені (розкладні) події. Так, нехай подія А полягає в тому, що при одному киданні кубика випало парне число очок, подія В — в тому, що випало число очок, кратне 3. Зрозуміло, що ці події є складе­ними, вони можуть бути розкладені на елементарні події: подія А настає тоді і тільки тоді, коли настає одна з елементарних подій ; так само настання події В еквівалентне настанню однієї з по­дій . Тому природно розглядати по­дії А і В як відповідні множини елемен­тарних подій: А ={ }, В={ }.

2. Нехай у партії з 1000 однотипних виробів є 10 бракованих виробів. Випро­бування полягає в тому, що навмання береться один з виробів.

Тут ми маємо 1000 елементарних подій (нерозкладних результа­тів випробувань) (подія полягає в тому, що взято і-й виріб). Нехай подія А полягає в тому, що взятий виріб бракова­ний; ця подія складається з 10 елементарних подій, , де — номери бракованих виробів.

3. Якщо тричі підкинути монету, то при кожному виданні вона може впасти догори гербом або цифрою, тому в цьому випадку є всьо­го 8 результатів випробування — елементарних подій: ггг, ггц, гцг, цгг, гцц, цгц, ццг, ццц (г означає випадання герба, ц — цифри).

Розглянемо приклади складених подій; нехай подія А полягає в тому, що випало принаймні два герби, подія В — випала рівно одна цифра; тоді А = {ггг, ггц, гцг, цгг), В = {ггц, гцг, цгг).

4. На площині дано квадрат; випробування полягає в тому, що в цей квадрат кидається точка. Елементарними подіями в цьому ви­падку природно вважати події, що полягають у попаданні в окремі точки квадрата; отже, множина всіх елементарних подій (всіх нероз­кладних результатів випробування) еквівалентна множині точок квадрата.

Розглянемо подію С, яка полягає в тому, що кинута точка по­пала в круг С, який лежить всередині квадрата (рис. ); ця подія розкладається на нескінченну множину елементарних подій, які відповідають попаданням в різні точки круга С.

Вправи

1. Довести рівності: a) ; б) ; в) ; г) ; ж) ; е) ; є) ; ж) ; з) ; и) ; і) .

2. Описати простір елементарних подій, якщо випробування по­лягає в тому, що монету підкидають тричі. Опишіть елементарні події, сприятливі для подій «випали герб і дві цифри», «випали дві цифри».

3. В урні лежать 4 кулі, занумеровані цифрами 1, 2, 3, 4. Ви­тягають дві кулі. Описати простір елементарних подій. Записати еле­ментарні події, сприятливі для події: «витягнуто дві кулі з парними номерами».

4. Нехай А,В,С — деякі події. Записати вирази для подій, які полягають у тому, що:

а) настала тільки подія A;

б) настали події А і В, але подія С не настала;

в) настала принаймні одна з цих подій; .

г) не настала жодна з цих подій;

д) настали всі три події;

є) настало не більше двох подій.

Поиск по сайту: