Свойства средней арифметической

Тема 6: Средние величины

В зависимости от особенностей распределения рассчитывают показатели, которые возможно разделить на три основные группы:

1) уровень изучаемого признака;

2) вариация изучаемого признака;

3) форма распределения.

Важнейшей характеристикой уровня изучаемого признака является средняя величина.

Взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств

Средняя величина- - обобщающая величина изучаемого признака в совокупности, которая характеризует либо типичный уровень по качественно однородной совокупности, либо совокупность в целом.

Средние величины бывают:

• типические - если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности

Пример: средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки.

• нетипические (по неоднородной совокупности);

Пример: средняя скорость гоночных автомобилей

Общая и групповые средние

Средняя величина, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней.Она дополняется средними, если совокупность разделить на отдельные группы. Такие средние величины называются групповыми средними.

Виды средних величин

• Степенные
• Простые (невзвешенные)- по списку результатов индивидуальных наблюдений
• Взвешенные - по сгруппированным данным
• Структурные ( применяются для изучения структуры вариационного ряда)
• Мода
• Медиана

Если совокупность разбита на несколько групп и в каждой группе рассчитана своя средняя арифметическая величина , общая средняя для всей совокупности составит:

, где - среднее значение признака в i-й группе; - объем i-й группы.

Степенные средние величины:

Общий вид расчета степенной простой величины	Общий вид расчета степенной взвешенной величины
m – вес, x – значение признака, n – число единиц совокупности, z – вид степенной величины, i – номер элемента совокупности

Многие виды средних могут быть получены из формулы степенной средней. Подставив в её формулу значение Z (показатель степени), определяемое объектом и задачами исследования, возможно получить тот или иной вид средней: арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую и т.д.

Виды степенных средних величин

Вид средней	простые	взвешенные
арифметическая Z=1
Гармоническая Z=-1
Геометрическая Z=0
Квадратическая Z=2
Кубическая Z=3

Здесь - значения изучаемого признака, n - объем совокупности, - вес, Z показатель степени,

Свойства средней арифметической

1) сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю;

2) если от каждого значения признака вычесть или к каждому его значению прибавить одно и то же число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится на то же самое число;

3) если каждое значение признака разделить или умножить на одно и то же число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз;

4) если значения признака-веса разделить или умножить на одно и то же число, то величина средней не изменится;

5) сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины;

6) произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоты.

Поиск по сайту: