Розглянемо побудову математичної моделі задачі лінійного програмування

Задача №1

ОПТИМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛ ТЕХНОЛОГІЧНИХ ЛІНІЙ ЗА ВИДАМИ РОБІТ

МЕТА РОБОТИ:Засвоїти методику вирішення задачі

Оптимізації розподілу технологічних систем на виконання заданого обсягу робіт.

2.2 Теоретичні відомості

Оптимальний розподіл техніки за видами робіт може здійснюватись, як при річному, так і при оперативному плануванні виробництва. Тобто, цю задачу доводиться вирішувати протягом року багаторазово. Цільовими функціями можуть бути мінімум приведених витрат, затратипраці, палива або інших ресурсів.

Цю задачу важливовирішити методом багатомірної оптимізації з обмеженнями. В свою чергу серед методів багатомірної оптимізації з обмеженнями особливе місце займає лінійне програмування. Це пояснюється широким колом задач, щоможуть бути зведені до лінійних моделей, а також розвинутим математичним і програмним забезпеченням методу лінійного програмування.

Задача лінійного програмування у стандартній формі має вигляд

при

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 ……………………………… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, … xn ≥ 0 b1 ≥ 0, b2 ≥ 0, … xm ≥ 0

(1.2)

де n – число незалежних змінних величин;

m – число обмежень;

a_j, c_j – числові коефіцієнти при змінних величинах.

Вихідні данні для виконання роботи згідно даних таблиць 1.1 та 1.2.

Розглянемо побудову математичної моделі задачі лінійного програмування

На підприємстві за 4 днів планується провести внесення та загортання гербіцидів та посів кукурудзи. Внесення та загортання гербіцидів на площі – 400 га, та посів кукурудзи на 200 га. На ці роботи може бути виділено 1 трактор МТЗ-80, та 1 трактор МТЗ-100. Потрібно знати варіант оптимального розподілу обсягу робіт між двома видами агрегатів, забезпечити мінімум експлуатаційних витрат.

Математична модель питомої задачі в загальному вигляді

при наступних умовах

1. 2. 3. 4. 5.

(1.4)

де Т_зм – час нормативної зміни, год; Т_зм = 7 год;

k_зм – коефіцієнт змінності, приймається 1, 1,5 або 2 в

залежності від пори року проведення робіт;

n₁, n₂ – кількість ліній відповідного номеру.

Д – кількість днів проведення робіт, дні.

Для вирішення задачі необхідно задати годинну продуктивність кожногоагрегату на кожній операції, а також відповідні експлуатаційні витрати.

Годинна продуктивність трактор МТЗ-80 на внесенні гербіцидів-2,14 га/год,на

посіві -2,5 га/год

Годинна продуктивність трактор МТЗ-100 на внесенні гербіцидів -3,29 га/год,на

посіві -3,57 га/год

Експлуатаційні витрати можливо приблизно виразити крізь витрати палива.

На підставі досліджень встановлено, що доля вартості палива в експлуатаційних витратах становить приблизно 25%.

Годинна витрата палива трактора МТЗ-80 складає 12,2 кг/год

а трактора МТЗ-100 складає 15,4 кг/год

Тоді експлуатаційні витрати, наприклад, внесення гербіцидів на МТЗ-80 дорівнюють

(1.5)

де g₁₅₀ – годинна витрата палива, g₁₅₀ = 12,2кг/год;

W₁₁ – годинна продуктивність, W₁₁ = 2,14 га/год;

Ц_ДП – ціна палива, грн.

= 228 грн/га

Для складання рівнянь розрахункові дані занесемо до таблиці 1.3.

Таблиця 1.3 – Вихідні дані для розрахунків

Тоді цільову функцію можна записати у вигляді виразу

при наступних умовах

Розглянемо графічне розв’язання цієї задачі. Спочатку необхідно визначити область допустимих рішень (ОДР). Для цього в усіх обмеженнях почергово припускаються до нуля змінні і знаходять відповідне числове значення іншої змінної. Ці значення будуть відповідати точкам перетину графічної прямої обмежень з осями координат х₁ та х₂ (рисунок 1.1). Відкладаємо значення х₁₁ та х₂₁ на осі х₁, а значення х₂₁ та х₂₂ на осі х₂.

Де залежність під номером

1 – рівняння х₁₁ + х₁₂ = 400;

2 – рівняння х₂₁ + х₂₂ = 200;

3 – нерівність 0,46·х₁₁ + 0,4·х₂₁ ≤ 56,при умові, що

трактор МТЗ-80 робив би тільки внесення гербіцидів , х₂₁ = 0;

4 – нерівність 0,30·х₁₂ + 0,28·х₂₂≤ 56,при умові, що

трактор МТЗ-100 робив би тільки внесення гербіцидів , х₂₂ = 0;

5 – нерівність 0,46·х₁₁ + 0,4·х₂₁ ≤ 56, при умові, що

трактор МТЗ-80 робив би тільки посів кукурудзи, х₁₁ = 0;

6 – нерівність 0,30·х₁₂ + 0,28·х₂₂ ≤ 56, при умові, що

трактор МТЗ-100 робив би тільки посів кукурудзи, х₁₂ = 0.

Положення прямої цільової функції Z знаходять відповідним завданням її значення, при якому пряма перетинається в межах рисунку, хоча б з однією координатою віссю. Для нашого прикладу розділяємо цільову функцію на дві.

Для внесення гербіцидів має вигляд:

Z_к = 228·х₁₁ + 187,2·х₁₂ → min(1.8)

Для посіву кукурудзи

Z_с = 192,5·х₂₁ + 172,5·х₂₂ → min (1.9)

Приймаємо початкове значення

Z_с = 30000грн.

Будуємо прямі Z_к і Z_с. Проводячи плоско-паралельне переміщення прямої цільової функції 7 та 8 в напрямку ОДР, знаходять точку або лінію на її межі, що відповідає оптимальному рішенню. Приймаємо: О₁та О₂.

трактор МТЗ-80 робитьпосів кукурудзи на 140 га, а трактор МТЗ-100 робить посів кукурудзи на 60 га, операція внесення та загортання гербіцидів, що є в наявності, вчасно не зможуть виконати заданий термін

Витрати на виконання посіву кукурудзи становитимуть:

Zс = 192,5 · 140 + 172,5 · 60 = 37300грн.

Поиск по сайту: