 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Диск равного сопротивления
К ВОПРОСУ УДЕЛЬНОЙ ЭНЕРГОЕМКОСТИ МАХОВИЧНЫХ НАКОПИТЕЛЕЙ ЭНЕРГИИ Berezhnoi D.V.
Kazan federal university 420008 Kazan, Russia berezhnoi.dmitri@mail.ru
Abstract
В работе излагаются основы методики численного исследования удельной энергоемкости маховичных накопителей энергии. В дополнение к традиционной оценке энергоемкости по кинетической энергии добавляется оценка по удельной потенциальной энергии упругих деформаций. Анализируются возможности использования различных конструкционных материалов при изготовлении маховиков, даются некоторые рекомендации по форме маховика. Отмечается, что используемая в работе «расширенная» оценка энергоемкости дает большую вариативность при конструировании маховичных накопителей энергии и в некоторых случаях позволяет снизить скорость вращения роторной части конструкции.
Keywords: маховик, удельная энергоемкость, кинетическая и потенциальная энергия. Введение В связи с развитием современных технологий в промышленности и на транспорте появляется множество мобильных устройств, поэтому большое значение приобретает проблема аккумулирования энергии. Создание новых материалов позволяет не только совершенствовать уже имеющиеся традиционные электрохимические батареи, а искать новые методы накопления и хранения энергии, в том числе и механические [1-3]. К ним можно отнести так называемые статические и динамические механические накопители энергии. У статических аккумуляторов механической энергии упругий элемент работает либо на растяжение (сжатие) – что предпочтительнее, либо на кручение (сдвиг), либо на изгиб, но такие аккумуляторы характеризует сравнительно небольшая накопляемая удельная энергия. Однако, обладая достаточно ценными свойствами – стабильностью накопления энергии, высоким КПД, долговечностью, они обеспечили себе прочное место во многих машинах и механизмах. Одной из относительно простых и, в то же время, крайне перспективных является технология накопления энергии при помощи маховика. Маховик сохраняет переданную ему энергию в виде кинетической энергии вращения. Другими словами, это некое массивное тело вращения, использующееся в качестве накопителя (инерционный аккумулятор) кинетической энергии [4]. Однако даже современные технологии не исчерпывают всех возможностей маховика. При достаточно быстром вращении он может накапливать кинетическую энергию, которую легко не только наращивать, но и использовать, превратив маховик в электромеханический аккумулятор. В данной работе представлены некоторые результаты оценки накопляемой маховиком энергии, в том числе кинетической и потенциальной энергии деформации, для различных материалов и дан ряд рекомендаций по выбору материалов, из которых можно изготовлять маховик.
Оценка потенциальной и кинетической энергии, накопленной диском при вращении его вокруг оси
Общие соотношения
Рассмотрим задачу об определении напряжений во вращающемся с постоянной угловой скоростью
где
откуда
т.к.
Представим зависимости между напряжениями и деформациями в соответствии с обобщенным законом Гука. Применительно к плоскому напряженному состоянию эти соотношения можно записать в виде
где
Получим его в перемещениях:
Известно, что общее решение уравнения (2) можно представить как сумму решений однородного уравнения Общее решение однородного уравнения будем искать в виде
Получим
Значит
где константы
Подставляя это выражение в (2), получим
откуда Таким образом, решение уравнения (2) имеет вид
Найдем соотношения для напряжений, для этого уравнение (3) подставляем в найденные выражения для
Получаем, что
Далее находим
Отсюда,
Потенциальная энергия деформации определяется в виде
Диск с отверстием
Для диска с центральным отверстием простейшие статические условия на внутренней и внешней поверхностях имеют вид
Поставим их в выражение для
Далее вычитаем из первого уравнения второе и находим константу
Находим константу
Подставляем найденные константы в выражение для
Введем новые обозначения
Выражения для напряжений примут вид следующий вид
Потенциальная энергия деформации может быть записана в виде
Для нахождения решения, воспользуемся пакетом «Математика». Получаем следующий ответ:
Преобразуем полученный ответ
Кинетическая энергия вращения диска определяется в виде
где момент инерции для полого круглого цилиндра
. Отношение потенциальной энергии деформации к кинетической энергии будет иметь вид
Т.к. масса диска равна
то отношение потенциальной энергии к массе определяется соотношением
а отношение кинетической энергии к массе определяется соотношением
Напряжение
Напряжение
Всегда имеет место неравенство
или в пределе
Тогда соотношения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии вращения, их отношения, а также удельной потенциальной и кинетической энергий могут быть записаны в виде:
Таким образом, удельная энергоемкость вращающегося диска с осевым отверстием может быть записана в виде
Сплошной диск
Формулы для определения напряжений в сплошном диске
В этом случае радиальные перемещения следует искать в виде
Подставляя выражение для
Простейшие статические условия на внешней поверхности имеют вид:
Используя это условие, определим неизвестную константу
Подставляем найденную константу в выражение для
Используя обозначения, веденные ранее, напряжения можно определять по формуле:
Оба напряжения положительны и увеличиваются с приближением к оси диска. На оси диска (при
Т.к. касательные напряжения на любой площадке, включающей ось симметрии диска
Тогда соотношения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии вращения, их отношения, а также удельной потенциальной и кинетической энергий могут быть переписаны в виде:
Удельная энергоемкость вращающегося сплошного диска может быть записана в виде
Диск равного сопротивления
Если же диск будет иметь не постоянное по высоте поперечное сечение, то в этом случае можно подобрать такой профиль, что окружные
Для того чтобы в диске, профиль которого определен по приведенной формуле, напряжение было постоянным, необходимо приложить на наружном контуре нагрузку, вызывающую радиальную нагрузку, равную Тогда для оценки величины напряжений, при котором будет происходить разрушение материала, можно также использовать условие прочности по IV теории. В данном случае оно будет выглядеть как
Тогда потенциальная энергия деформации может быть записана в виде
кинетическая энергия будет определяться по формуле
а масса – по формуле
Тогда соотношения для потенциальной энергии деформации, кинетической энергии вращения и их отношения могут быть записаны в виде
В случае стремления угловой скорости к бесконечности
Удельная энергоемкость вращающегося сплошного цилиндра может быть записана в виде
Результаты расчета
Были проведены расчеты для трех дисков (с отверстием, сплошного и равной прочности) для оценки удельной энергоемкости некоторых конструкционных материалов [9], механические характеристики которых приведены в таблице 1. В таблице 2 приведены удельные энергоемкости дисков разной формы (для потенциальной энергии
Таблица 1. Механические характеристики некоторых конструкционных материалов.
Таблица 2. Удельная энергоемкость дисков разной формы
Анализ результатов
Зависимость удельной энергоемкости
где Структурно формулы для исследуемых форм диска можно представить в виде
где функции Анализ отношения Аналогичный вывод можно сделать и анализируя выражение удельной потенциальной энергии Однако оценивая удельную потенциальную энергию
Заключение
В заключении следует отметить, что в работе проведен анализ энергоемкости маховиков различной формы. Ранее подобные исследования уже проводились, но в них давалась оценка только накопленной кинетической энергии вращения, а в данном случае рассчитывалась и накопленная упругая потенциальная энергия деформации. Расчеты проводились для некоторых канонических форм маховиков, для которых можно получить точное значение энергоемкости. Подобный расчет для сложных форм маховиков, в том числе комбинированных и композитных, можно проводить в известных численных пакетах прочностного анализа, в частности, в ППП ANSYS. Расчет маховиков по удельной кинетической энергоемкости определяется удельной прочностью материала маховика и коэффициентом формы. При оценке упругой потенциальной энергии деформации используется такой параметр, как отношение временного сопротивления материала на разрыв к его модулю Юнга. Этот фактор дает более широкие возможности при конструировании маховичных накопителей энергии, т.к. в ряде случаев накопленная потенциальная энергия деформации может в разы превышать кинетическую энергию вращения, а влияние формы маховика на его энергоемкость (энергоемкость от потенциальной энергии деформации) может быть совершенно противоположным. Кроме того, если маховик будет накапливать больше потенциальной энергии деформации (чем кинетической), можно будет снизить скорость вращения и ее ускорение, что благоприятно скажется на безопасности эксплуатации и сроке службы конструкции и позволит отказаться от герметичного кожуха, создающего вакуум в зоне вращения маховика (или, по крайней мере, обойтись вакуумом меньшего порядка,.
Acknowledgements. The work was performed according to the Russian Government Program of Competitive Growth of Kazan Federal University. References
[1] Gulia N.V. Makhovichnye dvigateli. М.: Mashinostroenie, 1976. 163p.
[2] Drum T.O. «Energy storage-flywheel» 2011. http://www.resilience.org/stories /2011-10-05/energy-storage-flywheel.
[3] «Alternative energy storage methode» http://www.mpoweruk.com/alternatives .htm
[4] «Makhovik» http://ru.wikipedia.org/wiki/Маховик#.D0.A1.D1.83.D0.BF.D0 .B5.D1.80.D0.BC.D0.B0.D1.85.D0.BE.D0.B2.D0.B8.D0.BA.
[5] Spravochnick po soprotivleniyu materialov / Pisarenko G.V., Yakovlev A.P., Matveev V.V. – Kiev: Naukova Dumka, 1988. – 736p.
[6] Rabotnov Y.N. Soprotivlenie materialov. – М.: Fizmatgiz, 1962. – 456p.
[7] Gulia N.V. Nakopiteli energii. М.: Nauka, 1980. 152p.
[8] Belykh K.V., Filkin N.M. K voprosu rascheta makhovichnykh nakopiteley kineticheskoy energii // Materialy mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferencii «Modernizaciya i nauchnye issledovaniya v transportnom komplekse», Perm, 26–28 april 2012. V.1. – Perm: PNIPU, 2012. – P.281-289.
[9] Materials Data. Cambridge University Engineering Department. Book 2003 Edition.
Поиск по сайту: |
однородном диске плотностью 
[5]. В этом случае полученное решение не зависит от угла вращения 
, а зависит только от текущего радиуса 
диска. Известно, что на каждую точку вращающегося тела действует центробежная сила, пропорциональная расстоянию от оси вращения, поэтому радиальная составляющая потенциала массовых сил имеет вид 
, а уравнения равновесия записываются в виде
,
- радиальное напряжение, 
- окружное. Зависимости между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения в полярных координатах записываются в следующем виде:
(1)
- коэффициент Пуассона, 
- модуль Юнга материала диска.
Подставим эти соотношения в уравнение равновесия:
(2)
и частного решения 
неоднородного.
. Подставляя это выражение в однородное уравнение равновесия,
.
и
,
и 
подлежат определению из граничных условий. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
.
,
.
, (3)
:
:
.
:
:
и 
:
Окончательное выражение для потенциальной энергии
.
,
,
.
положительно и достигает наибольшей величины при 
:
.
также положительно при всех значениях 
и достигает максимума при 
:
.
. Поэтому условие прочности должно быть записано, например, по I теории прочности:
,
.
,
,
. (2)
,
примут вид
в уравнение (1), получим:
Соотношения для напряжений приобретают вид:
,
:
) оба напряжения максимальны и равны между собой
.
, равны нулю, то 
и 
являются главными напряжениями, а в случае плоского напряженного состояния 
. Тогда для оценки величины напряжений, при котором будет происходить разрушение материала, можно использовать условие прочности по IV теории. В данном случае оно будет выглядеть как
,
.
,
. (3)
и радиальные 
напряжения во всех точках диска будут постоянными и равными 
. В этом случае профиль сечения диска должен быть определен по формуле [6]
.
.
,
,
.
первое и третье соотношения упрощаются
,
. (4)
, кинетической энергии 
и общей 
), изготовленных из материалов, механические характеристики которых приведенных в таблице 1.
, изготовленных из материалов, приведенных в таблице 1.
от удельной прочности 
материала маховика имеет вид
,
- коэффициент формы маховика, характеризующий его эффективность. Соотношения (2-4), по которым можно определить коэффициент формы 
, совпадают с соотношениями, приведенными в [7-8].
,
и 
для каждой формы диска свои.
для всех различных форм маховика показывает, что отношение потенциальной энергии к кинетической больше всего для диска с отверстием, а меньше всего для диска равной прочности. Это объясняется тем, что в случае диска с отверстием основная масса диска распределена дальше от оси вращения, что при прочих равных условиях ведет к росту кинетической энергии. Для равнопрочного диска ситуация меняется на противоположную.
, т.е. накопленная потенциальная энергия максимальна для диска с большим отверстие, и минимальна для равнопрочного диска. Это, по-видимому, объясняется тем, что чем больше упругий материал работает дальше от оси вращения, тем больше удельной потенциальной упругой энергии накапливается.
, вывод можно сделать совершенно противоположный. В этом случае определяющей является прочность диска, которая для равнопрочного диска наивысшая. А полная удельной накопленная энергия 
будет больше для дисков с концентрацией массы ближе к оси вращения для всех материалов, кроме резины, но это объясняется большим отношением 
, за счет чего доля удельной потенциальной энергии в полной удельной энергии становится превалирующей. Но общая накопленная удельная энергия для большинства материалов все равно мала, т.к. мало соотношение 
. Однако, как показывают расчеты, для резиноподобных материалов, в частности для Polyurethane elastomers (eiPU) [9], накопление энергии происходит за счет потенциальной энергии деформации.