ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ МАЯТНИКА НА ПОКАЗАТЕЛИ ДИНАМИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА

Рассмотрены математические преобразования (с использованием уравнения Лагранжа) для получения уравнений фазовой траектории и первообразной для расчёта времени движения маятника. Получены графики фазовой траектории и кривая времени колебания маятника. Установлено, что колебания маятника (при определенных геометрических параметрах) могут не существовать в природе и их отображение на графике возможно только в мнимой плоскости. Проведен анализ влияния геометрических параметров на показатели динамики колебательного процесса.

Как правило, моделирование объектов, помимо чисто научных целей может иметь и прикладное значение. Для проектирования и анализа механических систем (например, математического маятника) нужно разработать специальный физико-математический аппарат.

Любой механизм можно представить в виде совокупности звеньев и сопряжений. Например, маятник с зазором (рис. 1) представляет собой последовательное соединение звеньев [1].

Рис. 1. Модель математического маятника с зазором и опорой

Целью данной публикации является разработка математического аппарата, который позволит исследовать влияние геометрических параметров маятника (величины зазора и длины планки) на значение фазовой траектории и времени движения маятника.

Математический маятник представляет собой идеальную модель, в которой материальная точка массой m подвешена на невесомой и нерастяжимой планке длиной l₀. В такой системе происходят периодические колебания, которые можно рассматривать как вращение маятника вокруг оси.

1. Неподвижной оси, на которой закреплён маятник.

2. Зазор между осью и планкой на которой закреплен маятник.

3. Планка подвеса маятника l₀.

4. Материальная точка m (подвес).

Примем

Запишем уравнение Лагранжа 2 рода [2]:

– обобщённая сила

T – кинематическая энергия ( ),

где J – момент инерции ( ), тогда:

,

,

где П – потенциальная энергия ( )

Выразим уравнение Лагранжа с помощью введенных обозначений:

Вычислим производные:

;

Подставим Т,П и их производные в уравнение Лагранжа:

– начальные условия

Понизим порядок уравнения:

Решим уравнение подстановкой [3]:

Уравнение с разделяющимися переменными:

Подставим v:

Интегрируем обе части:

Учитывая, что:

Получим:

Из начальных условий:

Найдём:

Тогда:

Физический смысл – фазовая траектория маятника [4].

Найдём из соотношения (1):

Т.к. , то

Проинтегрируем обе части:

Из начальных условий, видно, что:

Исследуем соотношение (1) при:

= 0.01 мм (0.0001 м)

l = 300 мм (0.3 м)

g = 10

Рассчитаем значение фазовой траектории маятника для (табл. 1)

Таблица 1 – Значения фазовой траектории маятника

		32.065	7.659	-25.672	-58.991	-83.375	-92.299	-83.375	-58.991	-25.672	7.659	32.065
	6.4	5.663	2.767	5.067i	7.681i	9.131i	9.607i	9.131i	7.681i	5.067i	2.767	5.663	6.4

Из расчитанных значений видно, что для ( ) и, следовательно, для ( ) – имеем реальные колебания маятника (возможно отображение колебаний в реальной плоскости), остальные же диапазоны угла находятся в мнимой плоскости (в природе не существуют). Построим график фазовой траектории маятника в полярных координатах (рис.2)

Рис. 2. Фазовая траектория маятника в полярных координатах

Для определения зависимости величины зазора на значение фазовой траектории маятника зафиксируем значение иl = 0.3 м и составим таблицу расcчитанных значений (табл. 2).

Таблица 2 – Зависимость фазовой траектории от величины зазора

	0.000001	0.00001	0.0001	0.001	0.01	0.1
	36.9795	36.979	36.978	36.964	36.823	35.459

Построим график зависимости фазовой траектории от величины зазора (рис. 3).

Рис. 3. Зависимость фазовой траектории от величины зазора

Из графика зависимости фазовой траектории от величины зазора видно, что при увеличении величины зазора прямо пропорционально увеличивается значение фазовой траектории маятника.

Для определения зависимости величины длины планки маятника на значение фазовой траектории маятника зафиксируем значение и = 0.0001 м и составим таблицу расcчитанных значений (табл. 2).

Таблица 3 – Зависимость фазовой траектории от длины планки маятника

	0.03	0.04	0.05	0.1	0.3
	0.787	10.838	16.87	28.934	39.793	36.978	40.598	40.96

Построим график зависимости фазовой траектории от длины планки маятника (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость фазовой траектории от длины планки маятника

Из графика зависимости фазовой траектории от длины планки маятника видно, что при увеличении длины планки маятника до 1 м, происходит резкое увеличение значения фазовой траектории, а на интервале от 3 до 30 м, значение фазовой траектории практически неизменно.

Исследуем соотношение (2) при:

= 0.01 мм (0.0001 м)

l = 300 мм (0.3 м)

g = 10

Рассчитаем значение времени движения маятника для (табл. 4)

Таблица 4 – Значения времени движения маятника

	0.156	0.177	0.361	0.452	0.534	0.657	1,187	0.657	0.534	0.452	0.361	0.177	0.156

Из расчитанных значений видно, что значения времени колебания для диапазона равны значения для . Экстремум функции в точке . Построим график времени движения маятника (рис.5)

Рис. 5. Кривая времени движения маятника

Для определения зависимости величины зазора на значение времени движения маятника зафиксируем значение иl = 0.3 м и составим таблицу расcчитанных значений (табл. 5).

Таблица 5 – Зависимость времени движения маятника от величины зазора

	0,01	0,03	0,05	0,08	0,1
	0.165	0,1655	0.166	0.167	0.168

Построим график зависимости времени движения маятника от величины зазора (рис. 6)

Рис. 6. Зависимость времени движения маятника от величины зазора

Из графика зависимости времени движения маятника от величины зазора видно, что при увеличении величины зазора происходит экспоненциальной увеличение времени движения маятника.

Для определения зависимости величины длины планки маятника на значение времени движения маятника зафиксируем значение и = 0.0001 м и составим таблицу расcчитанных значений (табл. 6).

Таблица 6 – Зависимость времени движения маятника от длины планки

	0.05	0.1	0.3
	0.243	0.186	0.164	0.159	0.157	0.156

Построим график зависимости времени движения маятника от длины планки (рис. 7)

Рис. 7. Зависимость времени движения маятника от длины планки

Из графика зависимости времени движения маятника от длины планки видно, что при незначительном увеличении длины планки (до 1 м) происходит экспоненциальное уменьшение времени движения маятника. Увеличение длины планки маятника выше 1 м не влияет на изменение времени движения маятника.

ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель маятника с зазором.

2. Получены формулы для расчёта фазовой траектории и времени движения маятника.

3. Анализ влияния геометрических параметров маятника на показатели динамики колебательного процесса показал:

– при увеличении величины зазора прямо пропорционально увеличивается значение фазовой траектории маятника;

– при увеличении длины планки маятника до 1 м, происходит резкое увеличение значения фазовой траектории, а на интервале от 3 м и выше, значение фазовой траектории практически неизменно;

– при увеличении величины зазора происходит экспоненциальное увеличение времени движения маятника;

– при увеличении длины планки до 1 м происходит экспоненциальное уменьшение времени движения маятника. Увеличение длины планки маятника выше 1 м не влияет на изменение времени движения маятника.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Поиск по сайту: