Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Политропический процесс

В параграфе 2.4 отмечалось, что важным классом термодинамических процессов являются процессы, происходящие при постоянной теплоемкости, то есть политропические процессы. К таким процессам, в частности, относятся адиабатический, изотермический, изобарический и изохорический процессы.

Для идеального газа нетрудно получить уравнение политропического процесса тем же способом, которым ранее было выведено уравнение Пуассона. Пусть молярная теплоёмкость идеального газа в политропическом процессе равна . Тогда в соответствии с первым началом термодинамики (1.5) имеем выражение:

 

, (2.99)

из которого следует:

 

. (2.100)

Подставляя это выражение в формулу (2.76) получим

 

(2.101)

или с учетом соотношения Майера (2.70)

 

. (2.102)

Сравнение формул (2.100) и (2.102) при условии, что , позволяет записать уравнение

 

, (2.103)

аналогичное уравнению (2.79). Здесь введен параметр

 

, (2.104)

который называется показателем политропы.

Из этой формулы можно также получить зависимость молярной теплоемкости от показателя политропы :

 

. (2.105)

Преобразование формулы (2.103) к виду:

 

(2.106)

и интегрирование полученного уравнения дает

 

. (2.107)

Уравнение (2.107) называется уравнением политропического процесса или политропы – кривой, описываемой таким уравнением в переменных и .

Аналогично уравнениям адиабаты (2.86) и (2.87) уравнение политропы может быть переписано в других термодинамических координатах:

 

, (2.108)

 

. (2.109)

При адиабатическом процессе , что соответствует нулевой теплоемкости. Подставив в формулу (2.104) и сравнив получившееся выражение с (2.80), имеем , и уравнение политропы (2.107) становится уравнением адиабаты: .

Если процесс изотермический, то , так как при этом . В этом случае показатель политропы в пределе равен единице, и уравнение политропы (2.107) преобразуется в уравнение Бойля-Мариотта (2.11): . Обратим внимание на то, что поскольку при выводе уравнения политропы мы исключали величину , то этот вывод не может считаться полностью корректным для изотермического процесса.

Для изобарического процесса при показатель политропы , и уравнение (2.107) принимает форму: .

При изохорическом процессе должно стать равным , что соответствует случаю, когда показатель . Очевидно, переход в формуле (2.107) к указанному пределу некорректен. Это связано с тем, что при выводе уравнения политропы предполагалось, что (см. переход к формуле (2.103)).

Если умножить уравнение (2.100) на величину и сложить его с уравнением (2.102), предварительно умноженным на величину , то получим уравнение политропы в дифференциальном виде

 

. (2.110)

При это уравнение приобретает форме:

 

(2.111)

Отсюда имеем или . Из уравнения (2.110) также следует, что в процессе, при котором , давление постоянно: .

Для политропических процессов значение теплоёмкости и, соответственно, показателя политропы могут принимать любые величины. Отрицательные значения теплоёмкости, когда показатель политропы принимает значения от единицы до величины g (см. формулу (2.105)), соответствуют таким условиям, при которых внутренняя энергия термодинамической системы убывает при передаче ей положительного количества теплоты. Это может быть осуществлено при принудительном расширении газа.

В соответствии с формулой (2.100) при величины и имеют различные знаки, и с ростом объёма газа его температура, а, следовательно, и внутренняя энергия, уменьшаются. С этим, в частности, связано понижение температуры идеального газа при его адиабатическом расширении, так как в этом процессе . Наоборот, при с ростом объёма газа его температура растёт. В соответствии с первым началом термодинамики этот рост должен быть обеспечен подводом к системе дополнительного количества теплоты.

Рассуждая аналогичным образом, можно на основании формулы (2.102) установить связь между приращениями давления и температуры. При с ростом давления температура газа будет возрастать, а при - уменьшаться.

Работа газа в политропическом процессе может быть определена с помощью интеграла (1.13) при подстановке в него уравнения политропы(2.107), аналогично тому, как это сделано в формуле (2.97):

 

. (2.112)

Интегрирование в выражении (2.112) дает формулу для определения работы в политропическом процессе

 

, (2.113)

где: и - начальные давление и объём газа, - его конечный объём.

Из этой формулы, в частности, следует, что работа при расширении газа всегда остаётся положительной, независимо от того, какое значение принимает показатель политропы, больше или меньше единицы.

Нетрудно видеть, что для адиабатического процесса при выражение (2.113) переходит в формулу (2.95). Для изобарического процесса, при , выражение (2.113) дает

 

, (2.114)

где учтено, что при этом процессе .

Формула (2.113) неприменима для описания изохорического процесса, так как при выводе уравнения политропы (2.103) исключался случай . Но из формулы (2.100) очевидно, что работа газа в изохорическом процессе равна нулю.

Другим процессом, не описывающимся соотношением (2.113), является изотермический процесс. Как было сказано выше, он является предельным случаем политропического процесса при . Работу в изотермическом процессе можно найти, если в формулу (2.112) в соответствии с законом Бойля-Мариотта подставить , а затем выполнить интегрирование. Тогда имеем

 

(2.115)

или

 

, (2.116)

где учтено постоянство температуры в этом процессе: .

Поскольку внутренняя энергия идеального газа не изменяется в изотермическом процессе, количество теплоты, полученное газом, также может быть рассчитано по этой формуле, то есть в этом процессе . При изотермическом расширении идеального газа работа совершается только за счёт теплоты, подведённой из окружающей среды.

В заключение параграфа запишем все полученные формулы в единую таблицу 2.1.

 

Термодинамический процесс Показательполитропы Теплоемкость Работа
Изотермический
Изобарический
Изохорический
Адиабатический

 

Задача 2.4. Какова молярная теплоёмкость одноатомного газа и показатель политропы для процесса, в котором работа, совершаемая газом, в два раза превосходит количество теплоты, передаваемое ему?

Решение: Так как по условию задачи , то в соответствии с первым началом термодинамики имеем:

 

или

 

.

Тогда, с учетом одноатомности газа (число степеней свободы ), молярную теплоемкость можно определить по формуле:

 

,

а показатель политропы соответственно будет равен:

 

Задача 2.5. Какая работа совершается одним молем идеального газа в политропическом процессе с показателем политропы при изменении температуры газа на ?

Решение: Используя уравнение политропы (2.108): и уравнение Клапейрона-Менделеева для одного моля , перепишем (2.113) в виде:

 

.

Отсюда имеем:

 

.

Следовательно, работа, совершаемая одном молем идеального газа в процессе с постоянной теплоёмкостью, определяется только разностью температур конечного и начального состояний газа.

Таким образом, для идеального газа работа, а, следовательно, и количество теплоты, в политропических процессах определяются только конечным и начальным состояниями системы, так как путь перехода из одного состояния в другое определён теплоёмкостью газа (показателем политропы). Однако даже при рассмотрении только политропических процессов, работу и количество теплоты нельзя считать функцией состояния системы, так как переход из одного состояния в другое может быть осуществлен последовательностью различных политропических процессов.

Задача 2.6. Какое количество теплоты передано одноатомному газу в процессе, описанному в условии задачи 2.5?

Решение: В соответствии с формулой (2.105) имеем:

 

.

Тогда количество теплоты будет равно:

 

.

Отсюда, в частности, следует, что при равенстве показателя политропы показателю адиабаты для одноатомного газа: , количество теплоты .




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.