2) Логических операций три: конъюнкция и две дизъюнкции: 14 3 2 X & Y v (Y v X).
3) Схему строим слева направо в соответствии с порядком логических операций:
3) Вычислим значение выражения: F = l & 0 v (0 v 1) = 0
Выполните упражнение
Постройте логическую схему, соответствующую логическому выражению, и найдите значение логического выражения:
A) F = A v B & C, если А = 1, В=1, С=1.
Б) F = (A v B & C), если А=0, В=1, С=1.
B) F = A v B & C, если А=1, В=0, С=1.
Г) F = (А v В) & (С v В),еслиА=0, В=1, С=0.
Д) F = (А & В & С), если А=0, В=0, С=1.
Е) F = (A & B & C) v (B & C vA), если А=1, В=1,С=0.
Ж) F = B &A v B & A, если А=0, В=0.
Законы логики
Если логическое выражение содержит большое число операций, то составлять для него таблицу истинности достаточно сложно, так как приходится перебирать большое количество вариантов. В таких случаях формулы удобно привести к нормальной форме.
Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при логических переменных.
Для приведения формулы к нормальной форме используют законы логики и правила логических преобразований.
А= А
Закон тождества
А&А=0
Закон противоречия
Av A = l
Закон исключающего третьего
А = А
Закон двойного отрицания
A&0 = 0 A v 0 = A
Законы исключения констант
А&1=А A v 1 = 1
Законы исключения констант
А&А=А A v A=A
Правило идемпотентности
AvA = l
(А→В)=А&В
A→B = A v B
А& (Av В)= А
Закон поглощения
A v (А & В) = A
Закон поглощения
А& (Av В) = А & В
AvA&B = A v B
(AvB) vC =Av(BvC) (A&B)&C = A&(B&C)
Правило ассоциативности
(A&B) v(A&C) = A&(BvC)
(AvB)&(AvC) = Av(B&C)
Правило дистрибутивности
AvB = BvA
A&B = B&A
Правило коммутативности
AóB = A&Bv(A&B)
(AvB)= A & B
Законы Моргана
(A&B)=Av B
Законы Моргана
Пример
Упростите логическое выражение F = ((A v В) → (В v С)). Это логическое выражение необходимо привести к нормальной форме, т.к. в нем присутствует импликация и отрицание логической операции.
1. Избавимся от импликации и отрицания. Воспользуемся (8). Получится: ((AvB)→(BvC))= (AvB)&(BvC).
2. Применим закон двойного отрицания (4). Получим: (AvB)&(BvC)= (AvB)&(BvC)
3. Применим правило дистрибутивности (15). Получим:
(AvB)&(BvC)= (AvB)&Bv(AvB)&C.
4. Применим закон коммутативности (17) и дистрибутивности (15). Получим: (AvB)&Bv(AvB)&C = A&BvB&BvA&CvB&C.
5. Применим (16) и получим: A&BvB&BvA&CvB&C=A&BvBvA&CvВ&С
6. Применим (15), т.е вынесем за скобки В. Получим:
A&BvBv A&Cv B&C=B&(Av1)v A&Cv В&С
7. Применим (6). Получим: В &(Avl)v A&Cv В &С= Bv A&Cv В &С.
8. Переставим местами слагаемые , сгруппируем и вынесем В за скобки. Получим: BvA&CvB&C = B&(1vC)vA&C.