Проверка гипотезы о существовании тренда

При правильном выборе формы тренда отклонения от него будут носить случайный характер, что означает, что изменение случайной величины не связано с изменением t. Для этого определяются отклонения эмпирических значений от теоретических: для каждого уровня исходного временного ряда. Проверяется гипотеза : о том, что значения случайной величины случайны и ее величина не зависит от времени. Методами проверки данной гипотезы являются следующие:

Критерий серий, основанный на медиане выборки. Этапы реализации метода:

- рассчитываются отклонения эмпирических значений от теоретических, полученных по уравнению тренда: , , ;

- значения сравниваются со значением и ставится знак «+» или «-»:

> – «+» ;

< – «-»;

= – пропускается уровень.

Таким образом получается ряд «+» и «-»;

- выдвигается и проверяется гипотеза : если отклонения от тренда случайны, то их чередование должно быть случайным. Последовательность «+» и «-» называется серией;

- определяется – длина наибольшей серии;

- определяется V(n) – число серий;

- выборка признается случайной, если одновременно выполняются неравенства ( = 0,05):

Если хотя бы одно неравенство нарушается, то гипотеза о случайности отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается.

Пример. Имеются следующие данные об объеме импорта (млн. руб):

1. Оценим отклонения эмпирических значений числа от теоретических, полученных по уравнению линейного тренда:

;

Результаты расчета представлены в таблице:

Год		t			ранжированные	Знаки сравнения и
А
	16,5	-9	21,93	-5,43	6,69	-
	18,5	-7	24,25	-5,75	5,31	-
	30,4	-5	26,57	3,83	4,17	+
	34,2	-3	28,89	5,31	3,83	+
	37,9	-1	31,21	6,69	-1,25	+
	37,7		33,53	4,17	-1,71	+
	34,6		35,85	-1,25	-1,99	+
	34,3		38,17	-3,87	-3,87	-
	38,5	7	40,49	-1,99	-5,43	-
	41,1		42,81	-1,71	-5,75	-

Для проверки выдвинутой гипотезы определяются:

=5; V(n)=3; n=10.

Оба неравенства выполняются, гипотеза о случайности отклонений уровней временного ряда от тренда в виде прямой не отвергается.

Критерий «восходящих и нисходящих» серий. Этапы реализации метода:

- последовательно сравниваются каждое следующее значение
с предыдущим;

- ставится знак «+» или «-»:

> – «+»

< – «-»;

- определяется – длина наибольшей серии;

- определяется V(n) – общее число сери;

- выдвигается и проверяется гипотеза : о случайности выборки и подтверждается, если выполняются следующие неравенства ( = 0,05):

– определяется следующим образом:

N
n < 26
26 < n < 153
153 <n< 1170

Если хотя бы одно из неравенств не выполняется, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней временного ряда от тренда отвергается.

Расчетная таблица критерия «восходящих» и «нисходящих»
серий (по отклонениям от линейного тренда)

Год				Знаки сравнения и
	16,5	21,93	-5,43
	18,5	24,25	-5,75	-
	30,4	26,57	3,83	+
	34,2	28,89	5,31	+
	37,9	31,21	6,69	+
	37,7	33,53	4,17	-
	34,6	35,85	-1,25	-
	34,3	38,17	-3,87	-
	38,5	40,49	-1,99	+
	41,1	42,81	-1,71	+

Для проверки выдвинутой гипотезы определим:

- длину наибольшей серии = 3;

- число серий V(n)=4;

- при n<26 =5.

Метод сравнения средних уровней временного ряда предполагает, что исходный временной ряд разбивается на две приблизительно равные части по числу членов ряда, каждая из которых рассматривается как самостоятельная, независимая выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. При этом решаются две задачи:

если временной ряд имеет тенденцию, то средние, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно, значимо различаться между собой;

если же расхождение незначимо, несущественно и носит случайный характер, то временной ряд не имеет тенденции средней.

Проверка гипотезы Н0 о наличии тенденции в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей:

Н0:

Н1:

Гипотеза проверяется на основе t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

– средние уровни временного ряда согласно порядка разбиения;

и – число уровней временного ряда, соответственно первой и второй части;

– дисперсия первой и второй части.

Расчетное значение ( ) критерия сравнивается с его критическим значением ( ) при уровне значимости и числе степеней свободы v = n – 2. Если > , то гипотеза о равенстве средних уровней двух нормально распределенных совокупностей отвергается, следовательно, расхождение между вычисленными средними значимо, существенно и носит неслучайный характер, т.е. во временном ряду существует тенденция средней и существует тренд.

Пример. Имеются следующие данные об объеме импорта(млн.руб):

Исходный ряд разбивается на 2 равные части:

- в первую войдут значения показателя с 2005 по 2009 гг.,

- во вторую – с 2010 по 2014 гг.

Рассчитаем выборочные характеристики:

v = n – 2=8)=2,306

Следовательно гипотеза о равенстве средних двух совокупностей отвергается с вероятностью ошибки 5%, средние существенно различаются между собой, в ряду динамики существует тенденция средней и, следовательно, во временном ряду существует тренд.

Метод Фостера-Стюарта основан на двух характеристиках S и d:

Суммирование производится по всем членам ряда. Значения и определяются путем сравнения уровней исходного ряда со всеми предыдущими. Если значение уровня ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине присваивается значение 1, в остальных случаях она равна 0:

Если значение уровня ряда меньше всех предыдущих, то присваивается значение 1:

Показатели S и d асимптотически нормальные и имеют независимые распределения, но на них влияет порядок расположения уровней во времени. Показатель S применяется для обнаружения тенденции изменения в дисперсиях, d – для обнаружения тенденции в средней. После того, как для исследуемого ряда найдены фактические значения d и S, проверяется гипотеза о том, можно ли считать случайными разности (d – 0) и (S – ). Гипотезы проверяются на основе t-критерий Стьюдента:

– математическое ожидание величины S, определенное для случайного расположения уровней во времени (значения затабулированы);

– средняя квадратическая ошибка величины S;

– средняя квадратическая ошибка величины d.

Значения этих величин табулированы.

Если > ( ; v = n – 1), то гипотеза об отсутствии тенденции в средней отвергается и в исходном временном ряду существует тенденция средней.

Если > (a; v = n – 1), то гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсиях отвергается и существует тенденция дисперсии.

Расчетная таблица для определения тенденции в ряду динамики методом Фостера-Стюарта

Год
	16,5	-	-
	18,5
	30,4
	34,2
	37,9
	37,7
	34,6
	34,3
	38,5
	41,1

Получили, что S=6, d=6.

По таблице значений при n=10 находим =3,858; ,288;

v = n – 1=9)=2,262

Так как , то гипотеза об отсутствии тенденции в средней отвергается с вероятностью ошибки 5%, следовательно, средние существенно различаются между собой, во временном ряду существует тенденция средней.

Так как то гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсиях не противоречит опытным данным, следовательно, дисперсии различаются незначительно, тенденция дисперсий во временном ряду отсутствует.

Поиск по сайту: