Стандартное отклонение выборки и генеральной совокупности

Существуют два различных (однако связанных между собой) вида стандартного отклонения: стандартное отклонение выборки (для выборки, сделанной из большей генеральной совокупности, обозначается буквой S) и стандартное отклонение генеральной совокупности (для всей генеральной совокупности, обозначается буквой - малая греческая буква «сигма»).

Названия этих величин отражают правила их использования. В случае работы с выборкой данных, взятых случайным образом из большей генеральной совокупности, используется стандартное отклонение выборки. Если же изучается вся генеральная совокупность, следует использовать стандартное отклонение генеральной совокупности (часто также используют термины “выборочное стандартное отклонение” и “генеральное стандартное отклонение” соответственно.). Стандартное отклонение выборки несколько больше, что обеспечивает поправку на случайность самой выборки.

В некоторых случаях ситуация может быть не совсем однозначной. Так, например, набор данных о заработной плате всех сотрудников некоторой компании можно рассматривать и как генеральную, совокупность (поскольку рассматриваются все работники этой компании) и как выборку (если рассматривать сотрудников компании как представителей большей генеральной совокупности подобного рода специалистов). Такая неоднозначность является следствием оценки рассматриваемой ситуации, а не следствием характера самих данных. Если считать, что данные охватывают полностью круг решаемых задач, то эти данные, безусловно, представляют собой генеральную совокупность. Если же мы ставим цель провести некоторое обобщение (например, перейти от рассмотрения сотрудников данной компании к рассмотрению сотрудников, работающих в аналогичных компаниях), то те же данные можно считать выборкой из некоторой (возможно, гипотетической) генеральной совокупности.

Чтобы покончить с оставшимися неясностями примем следующее правило: при наличии сомнений использовать стандартное отклонение для выборки. Эта величина несколько больше и выбрать ее — значит поступить более осторожно и консервативно, и в конечном итоге не допустить систематической недооценки неопределенности.

Что касается вычислений, то единственное, различие между этими двумя по­казателями состоит в том, что при вычислении стандартного отклонения выборки делят на (n-1), а при вычислении стандартного отклонения генеральной совокупности не вычитают 1 (т.е. делят на N).

В связи с этим использование формулы стандартного отклонения для выборки дает несколько большее значение для небольших размеров выборки, что отражает увеличение неопределенности, обусловленной использованием выборки вместо всего множества данных.

Существуют также некоторые общепринятые различия в обозначениях. Среднее для выборки из n элементов обозначается , а среднее генеральной совокупности из N элементов обозначается греческой буквой (“мю”). Формулы для расчета стандартного отклонения имеют следующий вид.

S=

Чем меньше количество элементов (n или N), тем сильнее проявляются различия между этими двумя формулами. В случае 10 элементов стандартное отклонение выборки превышает стандартное отклонение генеральной совокупности на 5,4%. При 25 элементах различие составляет 2,1%. С увеличением числа элементов это расхождение уменьшается, доходя до 1,0% для 50 элементов и 0,5% для 100 элементов. Таким образом, в случае достаточно большого количества данных различие между двумя рассмотренными методами вычислений оказывается несущественным.

Поиск по сайту: